Главная Промышленная автоматика.

Если через h обозначить высоту начального положения над осью, то ордината у искомой точки будет положительным корнем уравнения

уЗ + 3/?2у - = О (/?-параметр).

8. Если два маятника с грузами М, и М, находящимися на одной и той же окружности С, выходят в разные моменты из одного и того же начального положения с одинаковыми скоростями, то прямая МуМ, соединяющая грузы, огибает окружность С. Допустим, что маятники совершают круговое движение, и обозначим через Т продолжительность обращения каждого из маятников, а через т - промежуток времени, отделяющий начала их движений. Если х соизмеримо с Т, то прямые, соединяющие положения маятников в монеты t, t--i, t + 2z, t-\-3z, образуют многоугольник, вписанный в С и описанный около С. (Это упражнение является не чем иным, как применением метода Якоби для вывода теоремы Понселе; см. Альфен, Traite des fonctions elliptiques.)

9. Рассмотрим неподвижные прямые, проходящие через точку А, и допустим, что в момент из А по всем этим прямым начинают двигаться без начальной скорости одинаковые точки, притягиваемые неподвижным центром О пропорционально расстоянию. Доказать, что все эти точки одновременно приходят в положения, совпадающие с проекциями точки О на пробегаемые ими прямые.

• 10. Материальная точка остается на кривой, определяемой уравнением вида

«2 = (г),

где г -ордината, s - дуга, отсчитываемая от некоторой точки кривой, а ср - произвольная функция.

Требуется исследовать движение этой точки, предполагая:

1) что она находится под действием силы, параллельной оси г и определяемой равенством

z = -iV (г),

где k - заданная постоянная;

2) что она испытывает, кроме того, сопротивление, пропорциональное скорости. Результат применить к случаю, когда

ср (г) = a2-n« - а2 = дЗ-« (г» - а«),

где а - заданная длина.

Исследовать частный случай, когда отсутствует начальная скорость, и определить время, необходимое точке для достижения положения s = О, соответствующего z - а. Рассмотреть случай, когда л = 2. (Лиценциатская.)

П. Найти плоскую таутохрону для точки, притягиваемой неподвижным центром, лежащим в плоскости таутохроны, с силой, пропорциональной расстоянию г (п. 252).

Требуется найти кривую, для которой г dr - ks ds. Рассматривая кривую как огибающую движущейся прямой

X cos а - у sin а = (а),

получим для определения функции (а) линейное уравнение с постоянными коэффициентами

(1 2) („) й(„)=0.

Это уравнение интегрируется в тригонометрических или показательных функциях. В первом случае имеем эпициклоиду. (Пюизё, Journal de Liouville, т. IX.)



Пусть и - вещественная переменная, большая чем h. Абель умножает обе dh

части равенства на - и интегрирует по Л от О до и:

У u - h

г- f (h)dh f dh Г Y () dz

Переменив порядок интегрирования в правой части, найдем для интеграла этой части значение itijj («). Искомая функция будет выражаться определенным интегралом, содержащим заданную функцию ;р. Например, если у (Л) = const., то опять получится циклоида.]

13. Определить таутохрону для тяжелой точки в вертикальной плоскости, принимая во внимание трение и сопротивление среды, пропорциональное Л (Задача приводится к линейному уравнению относительно Л)

14. Задача Эйлера и Саладини. Какую кривую нужно провести в вертикальной плоскости из точки О, чтобы тяжелая точка, пущенная по этой кривой из О без начальной скорости, пришла в произвольное положение М на этой кривой за то же время, какое ей потребовалось бы, если бы она скользила вдоль хорды ОМ} (Получается лемниската; Эйлер, т. II его Механики, 1736; Саладини, Memoires de IIstituto nazionale italiano, 1804; CM. статью Фуре «BulIetin de la Societe mathematiques, т. XX.)

15. Задача Бонне. Доказать, что найденная в предыдущем упражнении лемниската будет обладать тем же свойством, если вес заменить силой притяжения к точке О, пропорциональной расстоянию (Journal de Mathematique pures et appliquees, т. IX, стр. 116).

16. Задачи Фуре. 1°. Материальная точка, находящаяся в плоскости под действием силы, имеющей определенную силовую функцию, выходит из начала О с заданной начальной скоростью. Найти систему подобных кривых (С), проходящих через начало О, причем таких, чтобы точка, двигающаяся по какой-нибудь из этих кривых, описывала, начиная от точки О, любую дугу в такое же время, какое ей понадобилось бы для пробега соответствующей хорды.

2°. Дана на плоскости система кривых (С), проходящих через точку О и го.чотетичных относительно этой точки. Найти силу, имеющую силовую функцию, под действием которой движущаяся точка, получив заданную начальную скорость, описывает, начиная от точки О, произвольную дугу любой из кривых (С) за то же время, какое ей потребовалось бы для описания соответствующей хорды.

12. Задача Абеля. Определить кривую, лежащую в вертикальной плоскости и обладающую следующим свойством: на этой кривой существует такая неподвижная точка О. что тяжелая точка, пущенная без начальной скорости по кривой из начального положения, находящегося на высоте h над О, приходит в точку О за время Г, являющееся наперед заданной функцией 7 = ср (Л).

[Пусть S = ij (г) - соотношение между дугой 0Л1 кривой, отсчитываемой от точки О, и ординатой точки М. Имеем



где k - произвольная постоянная.

Вторая задача также невозможна, если начальная скорость не равна нулю. Если уравнение кривой имеет вид г = ки>(И), то силовая функция получится, если в написанном выше выражении, в котором с)/ - произвольная функция, положить

,р(е) = о,(в)е J ">

(Фуре, Comptes rendus, т. CIU, стр. 1114 и 1174; Journal de IEcole Polytechnique, вып. 56.)

17. Синхронные кривые и поверхности. В плоскости дано семейство проходящих через точку О кривых С, уравнения которых зависят от одного параметра. В момент f = 6 по каждой из этих кривых из точки О начинают двигаться одинаковые материальные точки с одинаковой для всех заданной начальной скоростью Vg, находящиеся под действием силы, имеющей заданную силовую функцию. Найти кривую S, представляющую собою геометрическое место этих точек в один и тот же момент t.

Эти кривые S образуют семейство, зависящее от параметра t; их называют кривыми, синхронными первым.

Если кривые С, проходящие через точку О, расположены в пространстве и зависят от двух параметров и если пустить по этим кривым в момент t - 0 со скоростью Vq материальные точки, находящиеся под действием сил, имеющих данный потенциал, то геометрическим местом таких точек к моменту t будет поверхность S, называемая синхронной поверхностью.

18. Примеры синхронных кривых. Скорость Vq предполагается равной нулю; силой является вес; кривые С являются прямыми, проходящими через начало и лежащими в вертикальной плоскости (кривые S - окружности), (Эйлер).

Сила является весом, а кривые С суть циклоиды в вертикальной плоскости с горизонтальными основаниями и точками возврата в точке О. [Синхронные кривые S ортогональны к циклоидам; это вытекает (п. 256) из того, что циклоиды С являются брахистохронами для рассматриваемого закона сил.] (Эйлер).

Сила является притяжением к точке О, пропорциональным расстоянию, а кривые С суть окружности х-\-у - 2ау = О, где а - переменный параметр. (Синхронные кривые S суть прямые, проходящие через начало.) (Л е г у, Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse, т. VI.)

19. Даны в плоскости два семейства кривых (А) и (С), проходящих через точку О. Можно ли найти такую потенциальную силу F, чтооы под ее действием материальная точка, выходящая с определенной скоростью из начала О и движущаяся по какой-нибудь из кривых (С), приходила в любую точку М этой кривой за такое же время, за какое она пришла бы в М, двигаясь вдоль проходящей через М кривой семейства (А).

Кривые {А) можно назвать траекториями, а кривые (С) синодальными линиями; при этом очевидно, что их роли можно поменять. Задача может быть всегда решена бесчисленным множеством способов. Задача Фуре относится к случаю, когда траектории прямолинейны и синодальные кривые подобны относительно точки О. (Де Сен-Жермен, Bulletm des Sciences Mathematlques. 1889.)

Первая из этих задач имеет решение лишь при условии, что начальная скорость равна нулю и что силовая функция в полярных координатах имеет

вид ф "Jgy f С) уравнение искомых кривых будет тогда





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [131] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0035