Главная Промышленная автоматика.

Пусть с - центр окружности, а М - движущаяся точка. Мы будем определять положение точки М на окружности углом = 8, который будет играть роль параметра д. Проектируя контур ОСМ на оси, получим г = 0

X = R cos atR cos (0 -1- a>t),

yRsinat + R sin (6 + at). Обозначая через x, у, 8 производные от х, у, 8 по t, имеем: х = - ;?« sin u,t - R {Ь + и>) sin (8 -)- a>t), у = Ru, cos at + R (8 + «) cos (8 + at).

[ш2 + (6 + a,)3 i- 2o, (6 -I- Ы) COS 8],

7" =

= mR (8 + 0) + ш cos 8), = - mR ы (8 + со) sin 8.

Так как заданных сил нет, то

Q=0.

Следовательно, уравнение (4) после всех приведений будет иметь вид

= - 0)2 sin 9.

Сравнивая это уравнение с уравнением движения математического маятника

= -sin8

мы видим, что относительное движение точки М для наблюдателя, который движется вместе с окружностью, будет движением математического маятника, причем точка А будет играть для него роль наиболее низкой точки. Продолжительность двойного бесконечно малого размаха, равная 2л; будет здесь 2те/о); она в точности равна продолжительности одного оборота окружности. Продолжительность конечных колебаний будет больше.

Для вычисления нормальной реакции Л будем исходить из общих уравнений движения, которые в данном случае имеют вид

= - N<:os(b + at), m

d"y dti

- Nsin(Q + 4>t),

так как точка находится под действием только силы Л. Из этих уравнений находим

dx div 1

cos(8 + o,0-f sin(9 + coO ,

что можно написать так d Г dx

N=-m

-j cos (8 + coO + sin (8 + coO

-f m(8 + co)

- ~ sin (6 -1- «0 + cos (8 + 0,0

„ „ , dx dy

Заменяя в этой формуле и их значениями, получим N=mR [0)3 cos I; -f (О -i- а)Ц.



dt \dq J dq ~

должно совпадать с уравнением кинетической энергии, так как при неподвижной кривой применение теоремы кинетической энергии приводит к единственному уравнению движения. Это легко проверить. В самом деле, умножая уравнение Лагранжа на q, получим

, d I дТ\ , дТ d / , дТ \ dq дТ , дТ „ ,

Но вследствие однородности функции Т произведение q -щ равно 2Г и более того, так как Т зависит от t только через q и q, то

dT dTdq, ,

dt dq dt dt

Это выражение зависит от 8. Реакция, следовательно, не будет одинаковой при прохождении движущейся точки через одну и ту же точку окружности в одну или другую сторону, так как знак 8 не будет одинаковым в обоих случаях.

Если движущаяся точка отталкивается от центра О силой, пропорциональной расстоянию ОМ = г, то эта сила, равная fmr, будет иметь силовую

функцию и = , которая, будучи выражена через 8, примет вид

f/=2/m«2cos2-l.

Тогда

и уравнение движения сохранит вид уравнения движения математического маятника, для которого g/l будет равно (ш -\-/).

261. Случай неподвижной кривой. Само собой понятно, что изложенный метод, будучи общим, применим и к движению точки по неподвижной кривой. При этом обычно можно выбрать параметр q таким образом, чтобы X, у, г, выраженные в функции q, не содержали явно t:

х = 9(д). У=-!(д)< z = wiq);

тогда

Т. е. Т будет однородной функцией второго порядка относительно q-Уравнение Лагранжа



УПРАЖНЕНИЯ

1. Материальная точка, вынужденная двигаться по окружности, притягивается или отталкивается одной из точек этой окружности. Найти, каким должен быть закон силы, чтобы реакция была постоянной.

2. Две материальные точки А и В с одинаковыми массами, вынужденные скользить без трения одна по оси Ох, а другая по оси Оу, притягиваются друг к другу с произвольной силой, являющейся функцией /(/•) их взаимного расстояния г. Они начинают движение без начальной скорости. Доказать, что они одновременно достигнут начала координат [лиценциатская *), Бордо].

3. Определить такую кривую, чтобы тяжелая точка, скользящая по этой кривой без трения, приобретала в каждый момент скорость, вертикальная составляющая которой имеет постоянное значение (лиценциатская, Париж).

4. Материальная точка массы т прикреплена к концу невесомой нити, навернутой на плоскую кривую С; точка отталкивается центром кривизны кривой С, соответствующим той ее точке, в которой нить отделяется от этой кривой. Сила отталкивания есть функция расстояния от движущейся точки до центра кривизны.

\°. Составить общие уравнения, определяющие закон движения и натяжение нити.

2°. В случае, когда отталкивающая сила пропорциональна расстоянию, а точка вначале лежит на кривой С и не имеет начальной скорости, обратить внимание на вид закона движения и выражения натяжения нити.

3°. Допустив, наконец, что отталкивание обратно пропорционально квадрату расстояния, определить кривую, для которой предыдущий закон (2°) сохраняет силу (лиценциатская, Пуатье).

5. В вертикальной плоскости рассматривается кривая, являющаяся огибающей отрезка прямой постоянной длины, один конец которого скользит по горизонтальной прямой Ох, а другой - по вертикальной прямой Oz. Исследовать движение тяжелой точки, скользящей без трения по этой кривой. В частности, найти время, затрачиваемое движущейся точкой для достижения точки возврата на оси Ох, если она начала двигаться из наиболее низкой точки с такой начальной скоростью, что постоянная кинетической энергии равна нулю (v - 2gz).

б.Найти такую кривую, лежащую в вертикальной плоскости, что если по ней заставить двигаться материальную точку, то реакция этой кривой должна находиться в постоянном отнощений k к нормальной составляющей силы тяжести (k = \ - прямая, k = 2.- циклоида, ...).

7. Тяжелая точка начинает двигаться без начальной скорости по црешней части параболы, лежащей в вертикальной плоскости и имеющей горизонтальную ось. Найти точку, в которой движущаяся точка покидает параболу (точку срыва).

*) То есть задача, предложенная на экзаменах на степень лиценциата. {Прам. перев.)

Поэтому уравнение принимает вид

dt dt

dT = Qdq,

что действительно является уравнением кинетической энергии.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 [130] 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0047