Главная Промышленная автоматика.

3. Взаимность в теории векторов. Возьмем мнимую сфрру jc2-fy2 2-f. + 1 = О с центром в точке О и вектор Pi с проекциями Хи Y, Zj и моментами Li, Ml, Ni. На прямой, сопряженной с Р) относительно сферы, построим вектор Р[ с проекциями Х = L, Yi = My, Zj = Ny. Это возможно, так как направление Li, Mi, Ni перпендикулярно плоскости OPj. Показать, что имеется взаимность между векторами и Р, т. е. что Pj лежит на прямой, сопряженной с Р[, и что его проекции равны моментам вектора Р[, а именно: Xi = l[, = М[, Zj = (преобразование Клейна, в частном случае указанное Кёнигсом).

4. По предыдущему преобразованию системе векторов (5) отвечает некоторая система (5)- Показать, что главный момент одной системы относительно точки О равен главному вектору второй системы.

5. Если одна из предыдущих систем (5) или (5) приводится к паре, то другая приводится к вектору, проходящему через точку О, и наоборот.

6. Найти пространственные кривые, касательные к которым являются прямыми, относительно которых момент равен нулю. Если принять за ось г центральную ось системы, то дифференциальное уравнение этих кривых имеет вид

fdz = xdy - у dx,

где /- параметр винта. Показать, что наиболее общая кривая, удовлетворяющая этому уравнению, определяется уравнениями

z = 4j (6), X = У/ч.(в) cos 6, у = У/УТв) sin е,

где ср - произвольная функция от 6.

7. Показать, что соприкасающаяся плоскость какой-нибудь кривой предыдущей задачи имеет фокус в точке соприкосновения.

8. Можно бесчисленным множеством способов образовать систему из двух векторов f и Ф, эквивалентных заданной системе векторов и таких, что f и Ф взаимно перпендикулярны. Показать, что прямые f и Ф образуют комплекс второго порядка. К этому же комплексу придем, отыскивая комплекс, образованный главными моментами относительно всех точек пространства.

9. Если два вектора f и Ф эквивалентны заданной системе, то их общий перпендикуляр пересекает центральную ось этой системы нормально к ней.

10. Даны несколько пар и их результирующая пара. Показать, что площадь проекции параллелограмма, построенного на векторах результирующей пары, на какую-нибудь плоскость равна алгебраической сумме площадей проекций параллелограммов, построенных на векторах составляющих пар.

И. Пусть Р, Р".....pW - векторы, образующие систему, эквивалентную нулю, и, соответственно, М, М", Л)-моменты какой-нибудь другой системы (S) векторов относительно осей Р, Р".....РЧ Доказать

соотношение

РМ -{-Р"М"-\- ... -f pWAf"> = 0.

Следует доказать сначала теорему для одного вектора Р системы (S), воспользовавшись равенством нулю главного момента векторов Р, Р".....Р

относительно Р.

12. Барицентрические координаты Мёбиуса. Пусть AiAAA - некоторый тетраэдр. Барицентрическими координатами точки М называют алгебраические значения Р, Р Рз, Р четырех параллельных векторов, которые необходимо приложить к вершинам Ai, А, А, А для того, чтобы центр этих параллельных векторов совпадал с точкой М. Показать, что:



Каждой точке М отвечают значения Р,, Р2, Р, Pi, определенные с точностью до общего множителя. Линейное однородное уравнение относительно Pi Pi< 8- Pi определяет плоскость, расстояния которой от четырех вершин пропорциональны коэффициентам при Р, Р, Рг, Р. Если эти коэффициенты равны, то плоскость уходит в бесконечность. Поверхность порядка т представляется однородным уравнением от-го порядка относительно Р, Р, Р3, Pi-

13. Найти результирующий винт двух взаимно перпендикулярных сходящихся винтов.

Решение. Примем прямые, на которых лежат винты, за оси х и у п прямую, к ним перпендикулярную, за ось г. Пусть X-вектор, а X - параметр Винта, лежащего на оси Ох (рис. 28). Тогда L = \Х. Обозначая через М, Y, (X аналогичные величины для второго винта, имеем М = i>.Y.



Рис. 28.

Пусть R-сумма векторов А и К, а G - сумма моментов L и М. Тогда-уравнение центральной оси всей системы будет

\Х+гУ iiY-zX -xY+yX X ~ Y ~ О Эта ось параллельна OR и пересекает Oz в точке О, для которой

{jii - l)XY - X+Y

Пусть О/? -эта ось. Обозначим через R и G главный вектор а главный момент системы относительно О. Имеем R = R. Нужно найти G

или лучше отношение К - -пг, т. е. параметр результирующего винта. Но от-

ношение G к R равно отношению их проекций L и X на ось х. Таким, путем находим:

Результирующий винт вполне определен.

14. Найти геометрическое место результирующих винтов ORG предыдущего упражнения, когда параметры X и (л слагаемых винтов остаются постоянными, а их векторы X л Y изменяются по модулю.

Искомая поверхность есть коноид

г(х2 + у2) = ((, х)ху.

Кэйли назвал этот коноид цилиндроидом. Болл показал, что этот коноид, имеет с цилиндром то общее свойство, что геометрическое место проекций произвольной точки на образующие есть плоская кривая. Можно



дополнительно доказать, что указанная кривая является коническим сече наем также и для цилиндроида.

15. Доказать в общем виде, что результирующий винт двух произвольных винтов с фиксированными положениями описывает цилиндроид, когда параметры этих винтов остаются постоянными, а их векторы изменяются.

Принять за ось Oz общий перпендикуляр к обоим винтам.

16. Из всех нецилиндрических линейчатых поверхностей цилиндроид является единственной поверхностью, для которой геометрическое место проекций произвольной точки на образующие есть плоская кривая. (См. А р р е 11, Bulletin de la Societe mathematique, декабрь 1900; Bricard, там же, январь 1901; Demoulin, там же).

17. Произвольная система скользящих векторов всегда эквивалентна шести векторам, направленным по шести ребрам тетраэдра.

18. Пусть SABC-тетраэдр. Примем в качестве положительных направлений на ребрах, выходящих из S, направления SA, SB, SC. Далее, на каждом ребре основания, таком, как АВ, примем в качестве положительного направления вращения вокруг противоположного ребра SC направление АВ, Обозначим через £, -ц, С, \ (д., ч алгебраические значения шести векторов, направленных по SA, SB, SC, ВС, СА, АВ. Показать, что инвариант LX MY -f NZ имеет значение

ВС SA

Ji

СА SB ~ АВ SC

где V-объем данного тетраэдра.

19. Для того чтобы система скользящих векторов была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы шесть составляющих 5, rj. С, I. (i, v равнялись нулю.

20. Для того чтобы система скользящих векторов была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов относительно каждого из шести ребер тетраэдра равнялась нулю.

21. Система скользящих векторов, лежащих в одной плоскости, эквивалентна Либо одному вектору, либо одной паре, либо нулю.

22. Система скользящих векторов, лежащих в одной плоскости, эквивалентна трем векторам, направленным по сторонам произвольно взятого в этой плоскости треугольника.

23. Для того чтобы векторна.] производная какого-нибудь вектора была всегда ему перпендикулярна, необходимо и достаточно, чтобы этот вектор имел постоянную длину.

24. Для того чтобы векторная производная какого-нибудь вектора была всегда направлена вдоль него, необходимо и достаточно, чтобы этот вектор имел постоянное направление.

25. Смешанное произведение трех сходящихся векторов АР-, АР, АР с проекциями Хх, Yx, Zi, Х, Y, Zg; Х, Kg, Zg есть скаляр

Хх Yx Zx Xt, Y Z9

3 Y3 Zg

равный no величине и по знаку объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Показать, что:

1°. Смешанное произведение меняет знак при перестановке двух множителей.

2°. Смешанное произведение трех полярных вектопов есть скаляр второго рода (п. 34).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037