Главная Промышленная автоматика.

ваются на dx, dy, dz и так как функция f{x, у, г, t) должна оставаться равной нулю, то

Следовательно, коэффициент при X обращается в - Точно

так же коэффициент при X, обращается в -

Этот результат ясен и геометрически, так как действительное перемещение точки происходит не по касательной к движущейся кривой и работа реакции не равна нулю. Для исключения реакции пользуются методом, рассматриваемым ниже.

259. Уравнения Лагранжа. Пусть q - параметр, определяющий положение точки на кривой С. К моменту t координаты какой-нибудь точки кривой и, в частности, движущейся точки будут

х = ср(9, t), y=iq, t), 2 = ш(9. t).

Движение точки будет известно, если будет известно, как изменяется q с течением времени.

Умножим уравнения движения (1) соответственно на ~, щ

и сложим. Коэффициенты при X и Х обратятся в нуль, так как они будут отличаться множителем от косинусов углов, образуемых касательной к кривой С с нормалями к каждой из поверхностей /=0, /i = 0. Тогда останется

\ df dq df dq df dqj -

где положено

Это и есть уравнение движения, определяющее значение параметра д, служащего для фиксирования положения точки на кривой в функции времени. Чтобы придать этому уравнению более удобную форму, мы применим к нему важное преобразование, введенное Лагранжем, с которым мы снова встретимся в самой общей задаче динамики голономных систем.

Обозначим через д производную параметра q по времени и через х, у, г проекции скорости точки на оси координат. Согласно формуле x - (f{q, t), абсцисса движущейся точки зависит от времени й непосредственно, и через параметр q, потому что последний в свою очередь является функцией от t. Имеем

дх , , дх



dt{dq)~ dq-i dqdt Для у и г получаются аналогичные формулы:

ду ду ду d 1ду \

dq dq dq ~ dt\dq )

dq ~ dq dq ~ dt\dq)

Установив это, мы можем уравнение (2) написать следующим образом:

dx dx „ дх

так как равно ... Заменяя в последнем уравнении

dy дг дх ду дг

-щ, -щ полученными выше значениями а произ-

d I дх\ d I ду \ d I дг\ дх ду dz

водные -гг-1, -п" -31. -77 \- их значениями -, , -, dt \ дд Г dt \ dq ) dt \од J dq dq oq

будем иметь:

d Г I , дх / dy, , dz V] f , dx , , dy , dz -,

или, обозначая через Т кинетическую энергию точки,

Тт{х"уг). окончательно получим

• =Q. (4)

dt \dq I

Это и есть уравнение движения по Лагранж у. После замены х, у, z их значениями по формуле (3) и ей аналогичными, величина Т станет функцией от q, q и t, причем второй степени относительно q.

26 Зак. 851. п. Аппель. г. 1

Рассматривая х как функцию трех переменных д, д, t, имеем очевидные равенства

dq dq dq ~ dq ~ dq dt Последняя формула показывает, что

дх d I дх\

dq ~ dt\dq )

В самом деле, зависит от / и непосредственно и через q; поэтому

d I дх\ dx , , дх



Как только эта функция будет вычислена, можно будет сразу составить уравнение (4).

Написанное выше значение Q можно определить следующим образом. Представим себе, что движущейся точке сообщено возможное перемещение, которое получится, если кривую С сделать неподвижной в занимаемом ею в момент t положении и переместить точку по этой кривой. Или аналитически представим себе, что точке сообщено перемещение, которое получится, если t считать постоянным, а параметр q увеличить на 8. Тогда будет

S дх bx=-oq.

Для этого возможного перемещения работа заданной силы X, К, Z равна

Xbx+Yby+Ziz = (x + Y + Z-)bq = Qbq.

Следовательно, величина Q является коэффициентом при в выражении возможной работы.

Если существует силовая функция U (х, у, z), или же, вообще, если X, К, Z будут частными производными по х, у, z какой-то функции и (х, у, г, t), содержащей время, то будет также

dU dq

где последняя производная вычислена в предположении, что в функции и (х, у, г, t) координаты заменены их выражениями через q ъ t. Действительно, так как и зависит от q через х, у, г, то, очевидно, / имеем

dq дх дд ~ ду dq ~ dz dq

dq dq dq

26Э. Задача. Материальная точка скользит без трения по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости хОу и вращающейся с постоянной угловой скоростью м вокруг odnou из своих точек О, которая закреплена нenodвuжнo. Иecлedoвamь dвuжeнue точки, npednOAMzan, что на нее не deucmeyem никакая nenoepedemeeHHO приложенная сила.

Пусть А - точка окружности, диаметрально противоположная неподвижной точке; угол хОА изменяется пропорционально времени. Отсчитывая t от того момента, когда это г угол равен нулю, найдем (рис. 162):


Рис. 162.

хОА = at.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 [129] 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0044