Главная Промышленная автоматика.

/2({/+Л)"

С другой стороны, сила, фактически действующая на движущуюся точку, имеет проекции

дЦ дЦ дЦ дх ду дг Естественные уравнения равновесия нити здесь имеют вид

(Л)ь = 0, (Fi)« = -.

Так как проекции силы Ру, на декортовы оси равны проекциям силы Р умноженным на [2{U + Л)]~Ч то так же будут преобразовываться и проекции на нормаль и бинормаль. Следовательно,

откуда

.-2(U+h)

или, на основании теоремы кинетической энергии,

Возьмем теперь естественные уравнения движения. Имеем

или, принимая во внимание равенства (1) и (2),

Nb = 0, N=~2F„.

Эти два равенства и доказывают высказанное предложение, которое мы уже проверили для циклоиды (п. 250). По поводу этой теоремы можно указать на статью Андуайе (Comptes rendus, т. С).

Гатон де ля Гупийер дополнил исследование брахистохрон, разобрав случай одновременного действия сил, зависящих от скорости, и сил трения и разрещив обратную брахистохронам задачу (Memoires de IAcademie, т. XXVII и XXVIII).-

256. Приложение теорем Томсона и Тэта к брахистохронам. В главе VII мы указали несколько интересных свойств кривых, обращающих в минимум интеграл вида

7= j fix, у, z)ds. (1)

Эти свойства, если их, в частности, приложить к брахистохронам, получают простое выражение. Брахистохроны в случае сил, имеющих силовую функцию и {х, у, г), получаются как кривые, обращающие в минимум интеграл

(-В)

t= f T-ds, (2)

J У2({/+/г)

а натяжение нити 63дет



у- - С/ (Xq, Уо, .го) = Л.

Следовательно, интеграл (1) совпадает тождественно с интеграло.м (2), если принять

<f {х, у, г) = ,

Y2[U(x, у, z)h\

и значение интеграла / вдоль участка АВ какой-нибудь кривой будет в точности равно времени t, которое понадобится точке массы единицы, чтобы переместиться по этой кривой под действием рассматриваемой силы и при указанных начальных условиях из Л в В.

Брахистохроны будут тогда кривыми, которые раньше были названы кривыми С (п. 146), зависящими от четырех произвольных постоянных. Например, если принять U - -gz, Л = О, то брахистохроны будут циклоидами, лежащими в вертикальных плоскостях ниже плоскости ху и имеющими точки возврата на плоскости лгу.

Возвращаясь к общему случаю, мы можем основную формулу Тэта и Томсона выразить так:

Пусть АСВ и АуСуВ, - две бесконечно близкие брахистохроны, описываемые точкой массы 1, - первая за время t, а вторая за время t-\-U-, тогда имеем (п. 147)

В, = cos ВАА,- cos ХвВу.

где Ujy и являются значениями функции U на концах А и В.

Тогда из формулы Тэта и Томсона, полученной в п. 147, вытекают следующие результаты:

Г. Если заданы две непод.вижяые поверхности S и 2, то кривая, которую-нужно провести между ними таким образом, чтобы движущаяся по ней при указанных начальных условиях точка описала ее за .минимальное время, является брахистохроной, которая одновременно нормальна к обеим поверхностям. Теорема остается справедливой, если одна или обе эти поверхности заменяются кривой или точкой.

Например, если даны точка А и плоскость Р, то кривая, которую нужно провести от А до плоскости таким образом, чтобы пущенная по этой кривой из А без начальной скорости тяжелая точка достигла плоскости за кратчайший промежуток времени, является циклоидой с горизонтальным основанием, лежащей в вертикальной плоскости, имеющей в А точку возврата и пересекающей нормально плоскость Р.

2°. Если взять брахистохроны, нормальные к поверхности S и по каждой из них в момент = О пустить при указанных начальных условиях одинаковые материальные точки, то в любой момент времени t все эти точки будут находиться на поверхности S, также нормальной к брахистохронам. (Эта теорема была указана уже Эйлером.)

Например, если взять все циклоиды, имеющие в точке А точку возврата и вертикальную касательную Az, и по каждой из них в момент = О пустить из А без начальной скорости тяжелую точку, то в момент t все эти точки будут находиться на поверхности S, нормальной ко всем циклоидам. В данном примере поверхность S сводится к точке А; поверхность S будет, очевидно, поверхностью вращения вокруг Az.

Мы предлагаем в качестве упражнения проверить это утверждение.

где h имеет определенное значение. Если эта постоянная выбрана, то во всех рассматриваемых движениях начальное положение и величина начальной скорости связаны соотношением



в минимум. Эта задача получится такая же, как и рассмотренная в п. 149, если подставить ф (х, v, z) вместо .. -. Она при-водится к нахождению равновесия нити на заданной поверхности.

II. Движение материальной точки на изменяемой кривой

258. Уравнения движения. Рассмотрим точку, скользящую без трения по кривой, положение и форма которой изменяются с течением времени. В неподвижных осях уравнения этой кривой будут

fix. у, Z, t)=0, z, t) = 0.

Нормальная реакция N кривой имеет проекции

и точку можно рассматривать как свободную, но находящуюся под действием равнодействующей F заданных сил и реакции N. Тогда уравнения движения будут:

dx „ . df . dfx

dfi дх дх

dfi ~ I ду ~ ду Л- + -51+1 ~дГ

Эти три уравнения совместно с уравнениями кривой определяют X, у, Z, т. е. движение точки, и X, \, т. е. реакцию, в функции времени. Следует заметить, что реакция не исчезает в уравнении кинетической энергии. В этом можно убедиться аналитически, умножая уравнения (1) соответственно на dx, dy, dz и складывая. В полученном равенстве коэффициенты при X и Xj не будут равны нулю. В самом деле, когда t увеличивается на dt, тогда х, у, z увеличи-

3°. Наконец, формула Тэта и Томсона позволяет высказать для брахистохрон теоремы, аналогичные свойствам разверток, если заменить в классических формулировках длины дуг промежутками времени, которые затрачивает для их описания точка, скользящая по ним без трения. Мы не бздем здесь останавливаться на этом вопросе, который мы предлагаем в качестве упражнения.

257. Брахистохроны на заданной поверхности. Требуется среди кривых, лежащих на заданной поверхности /(х, у, г) = 0 и соединяющих две точки А и В, найти такую, которая обращает интеграл

(-В)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 [128] 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0042