Главная Промышленная автоматика.


где t-время, необходимое точке для прихода в В.

Для того чтобы это время было наименьшим, необходимо определить кривую С таким образом, чтобы обратить в минимум написанный выше интеграл, котор.ый можно представить в виде

J fix, у, z)ds,

где ср---. Мы нашли ранее (глава VII, § III), что кривая, обра-Уг

щающая в минимум интеграл такого вида, является фигурой равновесия нити под действием силы с силовой функцией -ср(х, у, г), при этом натяжение нити равно ср (х, у, z). Три дифференциальных уравнения, которые мы установили для этой кривой, приводятся, как мы видели, к двум.

Для задачи, которую мы сейчас рассматриваем, ср(х, у, г) = -

¥ г

и сила, действующая на нить, вертикальна, так как - = 0, -О;

поэтому фигура равновесия будет лежать в вертикальной плоскости, проходящей через обе заданные точки. Если эту плоскость принять за плоскость xz, то для нахождения кривой достаточно будет одного уравнения. Мы возьмем первое из общих уравнений

которое приводится к виду

КУг ds) УZ ds

скорости, скользя по этой кривой, достигла точки В за наиболее короткий промежуток времени.

Эта кривая является брахистохроной для силы тяжести или кривой наиболее быстрого ската (рис. 161).

Примем за начало точку А, за ось z - вертикаль Az, направленную вниз, за плоскость xz - вертикальную плоскость, содержащую обе точки А -а В. Если тяжелая точка массы т скользит без трения по кривой С при начальной скорости в точке А, равной нулю,

то ее скорость в положении т определяется по закону кинетической энергии:

- 2gz. ds

Заменяя v через где ds - элемент дуги, имеем

(-В)



2 = /?(!-cos 6); dx = 2Rsm-db. x = Xo + R(b - sitiB).

Так как циклоида должна проходить через точку А, то х - О и А является точкой возврата (рис. 161). Для окончательного определения циклоиды С, проходящей через обе точки А и В, нужно построить какую-нибудь циклоиду С с основанием Ах и точкой возврата А, соединить А к В прямой, пересекающей циклоиду С в точке В и произвести затем над циклоидой С преобразование подобия, приняв за центр точку О и за отношение подобия отношение АВ к АВ.

Мы предположили для упрощения, что начальная скорость, с которой точка выходит из положения А, равна нулю. Если мы хотим найти кривую наибыстрейшего ската из А в В, предполагая, что точка начинает двигаться из А по этой кривой с начальной скоростью Vq, то достаточно будет заменить интеграл

интегралом

Кривая будет по-прежнему циклоидой с горизонтальным основало

нием, но это основание будет находиться на высоте z = -

Оссиан Бонне непосредственно доказал, что циклоида действительно осуществляет наименьшее время ската.

255. Брахистохроны в общем случае. Рассмотрим точку, находящуюся под действием силы F, имеющей силовую функцию U(х, у, г). Найдем кривую С, которою нужно соединить две точки А п В для того, чтобы точка, двигающаяся по этой кривой и вышедщая из Л с заданной начальной скоростью Vq, прищла в В за наиболее короткий промежуток времени (рис. 161). Эта кривая С является брахистохроной для заданного закона силы. Обозначая

откуда

dx =сг ds = сг (dx + dz). Переменные разделяются и, полагая = 2R, получим

dx = dz /"з-

Это-дифференциальное уравнение циклоиды, основанием которой является ось Ох. Легко найти уравнения кривой в обычной форме, полагая

тогда



или. полагая

имеем

ти,; ds

h = --и (лго, Уо, о), v = -j ,

\f2U(x. V. z)A-2h У m J

Y2U{x, у, z)-\-2h r m J Y2U (x, y, z)+2h

Таков будет интеграл, который требуется обратить в минимум. Он принадлежит к общему типу, изученному в главе VII, § 111, если в последнем положить

<f (х, у, г) = ,- .

V2U(x, у, z) + 2h.

Согласно тому, что мы получили в главе VII для кривых, обращающих в минимум интеграл

f f (х, у, г) ds,

искомая кривая является фигурой равновесия гибкой нити под действием силы Fi с проекциями

д 1 д 1 д 1

дх УЩГ+Т) ду y2(U+h) dz ЩГ+Т)

причем натяжение нити равно ,

Получаемые таким путем уравнения даны Рожером (Journal de Liou-ville, 1848).

Известно, что задачу можно свести к квадратурам, если фиктивная сила Fi, а следовательно, и сила F являются зависящими от расстояния силами притяжения неподвижной точкой, или прямой, или плоскостью.

Теорема Эйлера. При движении по брахистохроне нормальная реакция направлена по главной нормали; она равна по модулю и противоположна по направлению удвоенной нормальной составляющей действующей силы.

В самом деле, будем рассматривать кривую как фигуру равновесия нити. Составляющие фиктивной силы F,, действующей на нить, которою мы, по предположению, заменяем кривую, будут:

1 = [2({/+Л)]"

2 ди

Т ди ду

Z, = [2(U+h)]

Fi =[2(t/ + A)]

а ди

через Хо, уо, координаты точки А, имеем по теореме кинетической энергии

-о---тг = и (X, у, z) - U (лго, Уо. .о).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 [127] 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0036