1°. Можно заставить кривую находиться на заданной поверхности

fix, у, 2) = 0. (2)

Это уравнение и уравнение (1) совместно с очевидным уравнением

(fr+(l)+(f)=

определяют х, у, z ъ функции t. Интегрирование этих уравнений введет еще две произвольные постоянные, кроме k, которая уже выбрана произвольно. Если сила имеет силовую функцию, то уравнение (1) сразу проинтегрируется, так как тогда

Xdx-+Ydy + Zdz = dUix, у, z) = - ksds,

откуда

ft??2

U(x, у. л)=-- + С.

2°. Вместо того, чтобы заставлять кривую находиться на задан ной поверхности, можно потребовать, чтобы она была также таутохроной с той же самой точкой таутохронизма для другого закона силы Ху, Kj, Zy, зависящей только от положения движущейся точки. Для этого необходимо и достаточно, чтобы, кроме уравнения (1), удовлетворялось еще уравнение

Оба уравнения (1) и (1) совместно с уравнением (3) определяют х, у, Z в функции S. Полученная кривая будет таутохроной и для

силы XX-\-\>.Xi.....где X и [а-положительные постоянные.

Если вторая сила имеет силовую функцию Ui так же, как и первая, то будет еще

Uyix, у. z) =----hQ.

и тогда искомая кривая будет находиться на поверхности

kilUix, у, z) - C] = kU,ix, у, z) - C,].

Второй случай. Силы зависят от скорости. Допустим, что сила X, У, Z может зависеть, но может и не зависеть от скорости. Кроме того, имеется сила сопротивления среды, которая является

функцией скорости: /? = ср(г»), где v равно Уравнение движе-

ния по искомой кривой будет

d"s dx , dy . dz , I ds\

где x, y, z - функции от s. Правая часть, в которой первые члены зависят от X, у, z, может быть выражена в функ-

dx dy dz lds\

одному из этих законов сил, например, закону Лагранжа.

Мы не рассматриваем здесь подробно этот случай, так же как и случай, когда к сопротивлению среды добавляется трение. Мы отсылаем читателя к статье Дарбу (Mecanique de Despeyrous, т. 1, добавление ХП1), к статье Гатона де ля Гупийера (Journal de Liou-ville, т. XIII, серия 2) и к статье Адамара (Proces-verbaux des seances de la Societe des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 7 февраля 1895).

253. Приложения. 1°. Тяжелая точка, движущаяся при отсутствии сопротивления среды и трения. Прежде всего можно свести нахождение пространственных таутохронных кривых под действием веса к нахождению плоских кривых. В самом деле, вообразим пространственную таутохронную кривую С и рассмотрим цилиндр, проектирующий эту кривую на горизонтальную плоскость. Если развернуть этот цилиндр на вертикальную плоскость, удерживая его образующие вертикально, то кривая С перейдет в плоскую кривую С той же длины, а касательная, составляющая Ft веса точки, не изменится. Вследствие этого движение не изменится, и новая кривая будет таутохроной. Обратная операция позволяет переходить от плоской кривой С к пространственной С.

Докажем, что единственной таутохронной кривой для веса в вертикальной плоскости является циклоида.

Примем за начало точку таутохронизма на таутохронной кривой, а ось z направим вертикально вверх. Так как заданная сила является весом, то для рассматриваемого случая =0, Y - О, Z - - mg и касательная составляющая Ft силы равна -mg-. Эта составляющая должна иметь вид -k?s.

Следовательно, обозначая через положительную постоянную, имеем

= A2s, z =

ds ~ 2

без добавления постоянной, так как z обращается в нуль одновременно с s. Это уравнение характеризует циклоиду с горизонтальным основанием и с вершиной в начале.

2°. Два закона сил. Мы видели, что таутохронная кривая определяется с точностью до постоянных, когда требуют, чтобы таутохронизм имел место отдельно для двух различных законов сил при одной и той же точке таутохронизма для обоих законов.

Найдем, например, кривую, которая является таутохроной; 1) для силы тяжести и 2) для силы притяжения, имеющей постоянную интенсивность /и исходящей от вертикальной оси. Примем эту ось за ось Ог, счи-

ции S и ~. Тогда уравнение будет совпадать с уравнением прямолинейного движения точки по оси Os под действием силы, завися-шей от положения и скорости. Для этого случая не известны необходимые и достаточные условия таутохронизма; известно лишь, что таутохронизм будет иметь место, если сила следует некоторым определенным законам, например законам, установленным Лагранжем (п. 213). Следовательно, для нахождения таутохронных кривых нужно приравнять, если это возможно, выражение

где а - положительная постоянная, большая чем а. Так как кривая выходит из точки таутохронизма г = а, 6=0, то нижний предел интегрирования принят равным а.

Горизонтальная проекция кривой заключена между двумя окружностями г = а и г = а.. Она касается первой из них и нормальна ко второй, на которой она имеет точки возврата. Интегрирование при помощи очевидной подстановки

а - г

приводится к интегралу от рациональной функции.

254. Брахистохрона для силы тяжести. Найдем сначала брахистохрону для силы тяжести. Даны две точки А и В, из которых более высокой является точка А. Найдем, при помойки какой кривой С нужно соединить эти две точки для того, чтобы тяжелая материальная точка, пущенная из почки А без начальной

тая ее направленной вверх. Мы можем всегда выбрать начало и ось Ох таким образом, чтобы точка таутохронизма лежала на оси Ох на расстоянии а от начала.

Так как в рассматриваемо.м случае первая сила имеет силовую функцию - gz, а вторая - силовую функцию - /г, где г - расстояние от движущейся точки до оси Ог, то имеем два условия таутохронизма:

- gz =---/ =--2--

так как при s = О должно быть г = О и г = а.

Эти уравнения можно представить в более простом виде:

«2 s2

=2F -"-Тс

где ft и с - положительные постоянные.

Исключение s2 показывает, что кривая должна лежать на поверхности

r = a-\--z, (2)

являющейся круговым конусом с осью Oz. Чтобы закончить определение кривой, введем цилиндрические координаты л " и г. Элемент ds" дается равенством

ds"- = dr"- \-r"-db"-dz\, (3)

Выразим s и г в функции г при помощи предыдущих формул. Из уравнения (2) и из второго уравнения (1) имеем

2 = .(r-a), s= У 2с (г-а).

Подставляя в равенство (3) и сокращая, получим уравнение горизонтальной проекции