Главная Промышленная автоматика.

положение точки М, описывающей циклоиду. Нормалью к кривой будет прямая MB (рис. 159), центр кривизны находится в точке Е, симметричной к М Ьтносительно В, и геометрическое место центров кривизны £ является циклоидой, одинаковой с заданной и с вершинами в точках А и А. Наконец, касательная МС равна половине дуги ОМ, которую мы обозначим через s. В прямоугольном треугольнике ВМС имеем

т. е.

МС = ВС- СР. dz

2Rz,

Проекция веса на касательную, равная

dz S

-"-:7Г. будет -mg-

Сле-

•ds • iR

довательно, уравнение кинетической энергии, или естественное уравнение, будет

d-s g

Мы вновь получили такое же уравнение, как и в случае прямолинейного движения материальной точки, притягиваемой неподвижным центром пропорционально расстоянию. Общий

С L

7 У

интеграл этого уравнения будет s = Anost + Bsint j/"

он приводится к виду

S = So COS t

\ 4R

Рис. 159.

если в начальный момент дуга S = Sq, а начальная скорость равна нулю. При этих условиях время, необходимое для достижения наиболее низкой точки, равно T = -KYRlg- Период колебания не зависит, следовательно, от начального положения точки, т. е. от амплитуды: движение будет таутохронным.

Гюйгенс осуществил циклоидальный маятник следующим образом: в точке возврата О развертки он закрепил нить длины AR, равной дуге ОА развертки. По указанным выше свойствам, если нить заставить последовательно огибать обе дуги ОА и ОА, то конец М нити опишет рассматриваемую циклоиду.

Нормальная реакция. Одно из естественных уравнений движения будет

Fn + N = -

2R - Z

v"- = 2 (а - z\ р = 2MB, Fn = - mg cos а = - mg .

где через а обозначен угол между нормалью и вертикальной линией и 27? -.




= N - mg cos a.

Исключая N из этих двух уравнений и заменяя производной

dt 2 ds

получим уравнение

gl = ~2g (sin a - / cos a) + 2/ + 2tp (г.).

Вдоль кривой переменные аир являются известными функциями дуги S. Мы имеем, следовательно, дифференциальное уравнение первого порядка, определяющее v в функции s. После того, как эта функция будет найдена, величина t выразится через s при помощи квадратуры. Если сопротивление равно нулю или пропорционально квадрату скорости \<s(v) = kv\, то уравнение будет линейным относительно и можно будет закончить вычисления.

равно проекции МБ на вертикаль. Тогда

mg{a - z) mg(2R - z) MB MB

В частном случае, когда точка отпускается без начальной скорости из точки возврата, имеем а = 2R, первое отношение станет равным второму и реакция будет

.r mg(2R-z)

{. е. она будет по модулю равна, а по направлению противоположна удвоенной нормальной составляющей веса (Эйлер).

251. Движение тяжелой точки по кривой, расположенной в вертикальной плоскости, при действии трения и сопротивления среды. Допустим, для определенности, что кривая обращена вогнутостью вверх И что точка движется в направлении, противоположном направлению OS, принятому за положительное направление отсчета дуг (рис. 160).

Обозначим через а угол между горизонталью и касательной МТ, проведенной в сторону положительных дуг. Силами, действующими на точку, будут вес mg, нормальная реакция N, сила трения V (п. 195) и сопротивление

среды R = mjf{v). Последние две силы направлены в сторону, противоположную скорости, т. е. по касательной МТ. Естественными уравнениями будут:

/к = - OTg- sin а + 4- m-i {v).



Точка кривой, в которой sin а-/cos а обращается в нуль, является предельным положением равновесия для движущейся точки, если принимать во внимание трение и считать при этом / коэффициентом трения в момент начала движения (п. 190).

252. Таутохроны. Выше мы нашли, что движение тяжелой точки по циклоиде является таутохронным. Рассмотрим общий случай движения точки по любой заданной материальной кривой, под действием сил, тоже заданных. Говорят, что кривая является таутохроной, если на ней существует точка О такая, что движущаяся точка, предоставленная самой себе без начальной скорости, приходит в положение О за одно и то же время, каково бы ни было ее начальное положение. Точка О называется точкой таутохронизма.

Необходимо различать два случая, а именно: будет ли точка находиться под действием сил, зависящих только от ее положения, или зависящих также и от скорости.

Первый случай. Силы зависят только от положения. Тогда возникает следующая задача

Пусть F{X, Y, Z), где X, Y, Z - функции только х, у, z - суть заданные силы. По какой кривой нужно заставить двигаться без трения точку, чтобы движение было таутохронным?

Допустим, что одна из этих таутохронных кривых найдена, и будем отсчитывать дуги от точки таутохронизма О. Имеем уравнение движения

dF * = di" + dJ + d? •

Вдоль кривой координаты х, у, z являются функциями дуги s. Следовательно, X, Y, Z будут также определенными функциями от s и в уравнении правая часть Ff является функцией от s. Это уравнение будет тогда совпадать с уравнением прямолинейного движения, происходящим по оси Os под действием силы Ff, зависящей только от положения точки. Требуется, чтобы это движение было таутохронным. Но мы видели, на основании метода Пюизё (п. 213), что необходимое и достаточное условие таутохронизма заключается в том, что сила Ff должна быть вида -ks, где - положительная постоянная. Следовательно, для того, чтобы предложенная кривая была таутохроной, необходимо и достаточно, чтобы

Всякая кривая, удовлетворяющая этому единственному условию, будет таутохроной. Точка таутохронизма s = 0 будет, очевидно, положением устойчивого равновесия для точки, движущейся по этой кривой.

Чтобы закончить решение, можно произвольно задаться вторым условием. Вот, например, два различных способа выбора этого дополнительного условия.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [125] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0049