Главная Промышленная автоматика.

представится тогда в виде

ml - = ~-mg sin fi - R,

*) Речь идет о касании второго порядка. {Прим. перев.)

Следовательно, когда точка поднимается по окружности, реакция уменьшается, и ее максимум, существенно положительный, имеет место в наиболее низкой точке. Эта реакция обращается в нуль и меняет знак в точках, в ко-

„ • 2а

торых окружность пересекается с прямой z = .

Если сообщить точке движение в трубке, изогнутой по окружности, то, как вытекает из изложенного выше, точка будет давить на внешнюю стенку трубки, когда реакция Л" положительна, и на внутреннюю, когда реакция отрицательна. Чаще всего движущаяся точка связывается с неподвижной точкой при помощи гибкой нити. Когда реакция положительна, нить остается Натянутой; если же после обращения в нуль реакция должна стать отрицательной, то точка будет стремиться приблизиться к центру, и нить не сможет удержать ее на окружности. Если пренебречь массой нити, то точка покинет окружность В положении К, где Л=0 и начнет свободно перемещаться под действием веса; следовательно, она опишет параболу, касающуюся окружности в точке, где обе кривые имеют общий радиус кривизны. В самом деле, скорость точки, так же как и действующие на нее силы, с момента, когда она покидает окружность, будут изменяться непрерывно; естественное уравнение, определяющее mvlf, показывает, что радиус кривизны также изменяется непрерывно, и вследствие этого обе кривые будут действительно соприкасающимися в точке К- Парабола, имеющая вертикальную ось, определяется из условия касания в рассматриваемой точке *).

Найдем теперь, какие условия должны дополнительно выполняться, чтобы точка или покинула окружность, или осталась на ней. Рассмотрим прямые

А = и П{г = а) (рис. 157). Если а отрицательно, то реакция никогда

не обратится в нуль, так как прямая Д будет расположена над прямой П. Точка, колеблясь между А и А, никогда этой прямой не достигнет и реакция будет везде положительная. Точно так же, если 2а/3 больше чем /, то прямая Д будет вне окружности и реакция не обратится в нуль; точка будет периодически непрерывным образом описывать окружность. Следовательно реакция может обратиться в нуль, только если

0<а<. или, заменяя а его значением, если

где Vq, как и выше, обозначает скорость в самой низкой точке.

249. Движение математического маятника в сопротивляющейся среде. Если не пренебрегать сопротивлением среды, в которой происходит движение, то достаточно к силам и -mg, действующим на точку, добавить третью силу R, направленную по касательной к траектории в сторону, противоположную движению, и возрастающую вместе со скоростью.

Уравнение кинетической энергии или первое естественное уравнение

"1F = P*



В котором силы спроектированы на касательную, направленную в сторону положительных дуг.

Г. Рассмотрим случай малых колебаний в среде, в которой сопротивление пропорционально скорости. При этих предположениях имеем

ml dt

и уравнение движения после замены sin 6 на в примет вид

Это уравнение одинаково пригодно как для восходящего движения, так и для нисходящего, так как знак силы R изменяется с направлением движения. Уравнение движения является линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Для его интегрирования положим

и тогда для нахождения г получим уравнение

r"- + 2kr + j- = 0,

Если предположить сопротивление небольшим, то оба эти корня будут комплексными и мы можем написать


так что общий интеграл уравнения движения будет 9 = (А cos iJ.t + B sin fxt). Угловую скорость найдем из равенства

= e-kt - Ak) cos - -f Bk) sin lit].

Допустим, что движущаяся точка опускается без начальной скорости из положения Mq, пусть во - угол начального отклонения. Полагая в предыдущих формулах i = О, мы видим, что

Л = 6о, В =

Рис. 158.

При этих значениях постоянных для угловой скорости получим

.Ml±ii!).-**sinf.f.

Движущаяся точка, выходя из Мд, опишет дугу окружности и дойдет до точки Мх (рис. 158), в которой скорость обращается в нуль. Продолжительность tx этого полуразмаха есть первое значение переменной t, обращающее в нуль , т. е. ti = -. После этого точка будет двигаться обратно

до положения М, в которое она придет к моменту 2 =

и т. д. Колеба-



fs,„.-..(-)-.

a уравнение нисходящего движения получится, если заменить величиной - k. Примем за новую переменную Ь=. Имеем

db db db d% 1 d(62) dt db dt db " 2 db

и уравнение движения станет линейным относительно 6:

2 dO - /

sine.

Уравнение без правой части имеет общий интеграл 6 = Ае-\ Будем искать частный интеграл полного уравнения в виде 8 = X cos 8 (а sin 9. Легко видеть, что для того, чтобы удовлетворялось предложенное уравнение, достаточно взять

/(4й*-Ь1) 1(Ак-\-\) и общий интеграл будет

Отсюда можно найти 8 при помощи квадратуры, которая для случая очень малых амплитуд может быть выполнена в конечной форме.

250. Циклоидальный маятник. Под этим термином мы понимаем материальную точку, перемещающуюся без трения по циклоиде с горизонтальной осью, расположенной в вертикальной плоскости и обращенной вогнутостью вверх.

Примем за начало самую низкую точку кривой и за ось z - направленную вверх вертикаль; пусть R-радиус образующего круга.

Напомним прежде всего некоторые элементарные свойства циклоиды. Рассмотрим какое-нибудь положение образующего круга и соответствующее

ния будут изохронными, как и в пустоте, но продолжительность каждого из этих колебаний несколько увеличится, так как (i < и, следовательно.

Для изучения изменения амплитуды возьмем снова выражение, для в:

е = е-"* {Ьо cos lt-lг~ sin j .

Полагая ti - - , найдем

Следовательно, < %. К моменту U - - будет 6, = Ьдв и т. д. Следовательно, амплитуды изменяются по закону геометрической прогрессии со знаменателем - е~.

2°. Уравнение движения легко интегрируется в случае колебаний с конечной амплитудой и в случае сопротивления, пропорционального квадрату скорости. Для восходящего движения имеем

d39 g .

-•--s~ sin





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 [124] 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.004