Главная Промышленная автоматика.

/1"-

sin2- sin2A

Мы взяли знак плюс, предположив, что точка поднимается. Отсчитывая время от момента, когда точка выходит из jMq, получим

J sin2 - - sin2

Полагая

Sin -J = м sin ,

получим далее

Следовательно, задача свелась к эллиптическому интегралу, и только что написанное уравнение может быть заменено следующим *):

и = sn U

т. е.

sin А = sin sn (t У-)

Таким образом, координаты / sin 6 и / cos 6 движущейся точки выражены как однозначные функции времени.

Для нахождения времени Т, затрачиваемого точкой для перехода из Mq в А, надо изменять О от О до а, и, следовательно, и от О до 1. Полагая, как обычно,

J /(1 м2)(1-Й.

получим для Т значение К VT[g и продолжительность простого колебания будет 2KVl!g- Если эту величину добавить к t, то точка займет положение М, симметричное с М, н sin 6 изменит свой знак, что является проверкой известной формулы

sn (X + 2Я) = - sn X.

*) См. Аппель и Лякур, Principes de la theorie des fonctions elliptiques.

откуда



Полезно знать разложение величины Т по степеням sin т.е. величины К по возрастающим степеням k. Для получения этого разложения напишем по формуле бинома

1 1+lfe.„,+ll 3,.„.+ ... 1-3-5...(2.-1),,, Y1 2 2-4 2-4-6...2/г

и, опираясь на легко устанавливаемую формулу 1

тс 1 • 3 - 5 ... (2/г- 1) , 2/г

получим

и, следовательно,

/ц» dM тс 1 • 3 • 5 . (2я ГГ= ~ 2 2 • 4 6 ... о

/(=7

Для бесконечно малых колебаний (а = 0) получаем, таким образом,

Для колебаний с незначительной амплитудой можно заменить sin углом и ограничиться только двумя первыми членами разложения. Получим

2°. Нам нужно теперь рассмотреть случай, когда прямая П не пересекает окружности, т. е. когда а> I. Уравнение кинетической энергии v" = 2g{a - z) может быть написано в виде

Г-[ 2g{a + l cos 6) = 2. (а -f / - 2/ sin А j

или, положив k =

-, в виде

а + 1

Р (5") = 2g(a + l)(\-k-i sin2 i-].

Величина k меньше 1, так как а больше /. Разрешая это уравнение отно-

1 v2g (а -ь I) сительно dt и полагая Х = - ----, получим

-Kdt =

"2

Й2 Sin2

0 /

k"- Sin2-



{\~-иЩ\-к-и")

lt= I ....., « = sn(XO,

т. е. sin = sn (It). Отсюда найдем

cos - = у 1 - sn"- (\t) = СП (ХО-

Время Т, необходимое точке для достижения наиболее высокого положения, получится при изменении G от О до или при изменении и от О до 1; следовательно

3°. Остается, наконец, рассмотреть промежуточный случай, когда прямая П касается заданной окружности, т. е. когда д = /. Тогда интегрирование можно выполнить при помощи показательных функций, так как модуль предыдущих эллиптических функций делается равным 1. В самом деле, вернемся к уравнению кинетической энергии = 2g{a - z). Напишем

Г- (-§) = 2 (/ + ; cos 6) = 4gl cos-21, cos у

Интегрируя, получим

Постоянная интегрирования равна нулю, так как t должно обращаться в нуль одновременно с 6. Когда t неограниченно возрастает, 6, возрастая, стремится к пределу тс; движущаяся точка неограниченно приближается к наивысшему положению, никогда его не достигая. Оно является положением неустойчивого равновесия.

Вычисление реакции. Реакция в каждой точке направлена по радиусу окружности; она считается положительной в сторону центра и отрицательной в противоположном направлении. Пусть тогда -ее алгебраическое значение; второе естественное уравнение принимает вид

так как совпадает со своей проекцией на главную нормаль. С другой стороны (рис. 157),

/n = --cose = If, v"- = 2g{a - z), и радиус кривизны р равен длине / маятника; поэтому

ЛГ = 2!М(, ,) ==(2.-3.).

Примем, наконец, м = sin в качестве новой переменной. Тогда





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 [123] 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0036