Главная Промышленная автоматика.

Рассмотрим плоскость II, уравнение которой г~а. Расстояние MP от движущейся точки до этой плоскости равно а - 2, так что скорость определяется формулой

г;2 = 2gPM.

Отсюда видно, что численное значение скорости будет такое, как при падении точки по вертикали из Р в УИ без начальной скорости.

Допустим, что рассматриваемая кривая замкнута. Могут представиться два случая в зависимости от того, будет ли плоскость П пересекать эту кривую или нет. Каково бы ни было начальное положение уИо точки, ей всегда можно сообщить такую достаточно большую начальную скорость Vq, чтобы плоскость П была расположена сколь угодно высоко, так как

Допустим, что Vq настолько велико, что плоскость П находится над кривой. Тогда скорость никогда не обратится в нуль и движущаяся точка будет бесконечное число раз оборачиваться по своей траектории. Движение будет периодическим, наибольшая скорость будет в наинизшей точке, а наименьшая - в наивысшей.

Допустим теперь, что плоскость П пересекает кривую. Пусть А и А - две последовательные точки пересечения. Допустим, что точка начинает движение из наинизшего положения Mq дуги АМА в сторону А. Легко видеть, что движущаяся точка подойдет к положению А сколь угодно близко; в самом деле, скорость между Mq и В будет все

время больше, чем Y2gBB,, где ВВ, - расстояние от точки В до плоскости П, и точка обязательно придет в положение В за конечный промежуток времени. Если касательная в Л не горизонтальна, то движущаяся точка достигнет этого положения. Действительно,

vi=.2g{a - z) или (-g-) = 2(a -2),

откуда

кинетической энергии будет

у = - §-2 +/г, что можно написать в виде

где обозначено



У а- Z

После достижения положения А движущаяся точка будет возвращаться к Mq, куда она придет со скоростью и дальше будет двигаться по дуге MqA аналогичным образом в течение времени 7,, ес.ти касательная в точке А не горизонтальна. Движение будет, следог!а-тельно, колебанием между точками л и л, и продолжительность каждого простого колебания будет Т-\-Т.

.Можно указать два предела, между которыми должно заключаться Т; эти два предела будут тем ближе друг к другу, чем меньш дуга MqA. Если положить

ds ~

то, как известно, будет

d-z j1 ds"- ds p

где p - радиус кривизны и у - косинус угла, который образует этот радиус кривизны с осью Oz; этот косинус положителен, так как угол острый. Пусть k и К-пределы для у7р на рассматриваемой дуге; тогда между точками AIq и л будет

откуда, интегрируя, заключаем, что

так как эта функция, обращающаяся в нуль при s = 0, согласно предыдущему неравенству, монотонно убывает. Вследствие этого моно-

тонно убывающей будет и первообразная функция z - ~s. Написав,

Будем отсчитывать дуги от положения М, а время от начальною момента. Так как s должно возрастать вместе с , то в написанном уравнении нужно взять знак плюс, и мы получим

у a - z у у а - Z

Если касательная в точке А не горизонтальна, то - будет оставаться

конечным при 2 = а и подынтегральное выражение будет обращаться в бесконечность порядка /j. Следовательно, этот интеграл остается конечным, когда г стремится к а. Время Т, нужное для достижения точки А, будет тогда определяться формулой



J-, если для части МА траектории величина -т/р имеет

тот же предел, что и- для части МА. В частности, если.траектория является окружностью радиуса R в вертикальной плоскости, то получится известное выражение для продолжительности бесконечно

малого размаха YRIS-

Вернемся теперь к колебаниям конечной амплитуды и рассмотрим случай, когда касательная в точке А горизонтальна. Вспомним формулу, определяющую время:

z ds

./ у a - z

Когда z стремится к a, тогда 5 стремится к длине / дуги NiA, а стоящие под знаком интеграла выражения \fYо, - z и неограниченно возрастают. Приняв s за независимую переменную, получим

что она больше своего конечного значения, получим

где / - длина дуги MqA. Заменяя в выражении для Т величину ]/У а - Z правой частью этого неравенства, получим

d"z

Точно так же, исходя из неравенства - kO, найдем

Если уменьшать начальную скорость таким образом, чтобы плоскость П приближалась к точке Mq, то обе величины Как будут одновременно стремиться к одному и тому же пределу, а именно, к значению /р в наинизшей точке, которое мы отметим индексом нуль. Поэтому, когда колебание будет иметь бесконечно малую амплитуду, продолжительность одного простого полуразмаха будет равна

а продолжительность простого размаха будет равна





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [121] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0035