Главная Промышленная автоматика.

= Qdq,

будет дифференциальным уравнением второго порядка, определяющим q в функции t.

В частном случае, когда сила зависит только от положения точки, Q будет функцией только от q, и интегрирование уравнения приводится к квадратурам. Действительно, уравнение кинетической энергии будет

.mv" „ . mv- mvl Г

=Qdq, --- = jQdq.

Из этого уравнения можно найти в функции q, для чего

нужно заменить v его значением (1). Получим

Таким образом, задача решается двумя последовательными квадратурами. Выражение содержит два знака. В начале движения известно, какой знак нужно взять, так как знак начальной скорости определяет знак начального значения ~. Этот знак нужно сохранять da

до тех пор, пока ~ не обратится в нуль; если по истечении конечного промежутка времени функция f (q) обратится в нуль, то скорость тоже обратится в нуль; тогда направление касательной составляющей силы определит направление движения, а следовательно, da

и знак . dt

Если сзществует силовая функция U (х, у, г), то первое интегрирование производится сразу. Имеем

mv" ,,, SI,

-2" = /(л;, у, z) + h.

где значение h равно --U {Xq, у, z,. После замены х, у, z их

выражениями через q, вычисления завершаются так, как указано выше.

245. Устойчивость равновесия. Допустим, что сила X, Y, Z зависит только от положения движущейся точки. Тогда величина Q будет функцией только от и для нахождения положений равновесия нужно найти значения q, обращающие Q в нуль (п. 92). Эта задача

у. /., а саедовательно, и Q будут функциями от д,~ п /, и уравнение кинетической энергии, написанное в виде



U{q)= / Qdq,

определенной с точностью до аддитивной постоянной. Мы хотим доказать, следуя Лежен-Дирихле, что если для какого-нибудь значения д - а эта функция U действительно имеет максимум, то соответствующее положение равновесия устойчиво.

Мы можем для упрощения положить а = 0, так как это равносильно замене параметра д новым параметром д - а. Мы можем также предположить, что функция U (д) обращается в нуль в рассматриваемом положении равновесия при д = 0, так как это сводится к подходящему выбору произвольной постоянной, которую можно добавить к и, т. е. нужно принять

U{g)= f Qdt.

Тогда при = 0 функция U {д) будет иметь максимум, равный нулю; это значит, что если s - произвольная положительная постоянная, меньшая некоторой, наперед заданной величины, то при всех значениях д, отличных от нуля и удовлетворяющих единственному условию

- s<g<e, (1)

функция и(д) будет отрицательной.

Считая, что число s выбрано сколь угодно малым, сместим точку из положения равновесия в некоторое начальное положение, соответствующее значению д параметра д, заключенному между -ей и сообщим ей начальную скорость Vq. Докажем, что можно найти два, таких положительных числа аир, что при выполнении только двух условий

VQ<a. р<9„<р,

точка в своем последующем движении не выйдет за крайние положения, соответствующие значениям + е параметра д, и даже не достигнет этих положений. В самом деле, так как величины U(в) и U{-s) отрицательны и не равны нулю, то можно найти положительное число р, которое будет одновременно меньше, чем-U (s) и меньше, чем - и {-в), так что сумма U{q)-\-p, будучи положительной при q=0, станет отрицательной при q~ ±г. При движении точки, согласно теореме кинетической энергии, будет

mv" mvi

- = Uiq)+-U(q,).

сводится к тем же вычислениям, что и при нахождении максимума и минимума функции



Определим и из условий

Из первого неравенства получаем для Vq верхний предел а, равный Vplm ; второе неравенство в силу непрерывности функции U (д), обращающейся в нуль при - О, требует, чтобы д было по абсолютному значению меньще некоторого положительного предела р. Тогда, если эти начальные условия выполнены, получим

-2- <U{g)+p.

Отсюда видно, что д не может достигнуть пределов + s, так как, если д достигнет какого-нибудь из этих пределов, то кинетическая энергия являющаяся существенно положительной величиной,

должна оставаться меньще правой части, которая при д - +г становится отрицательной, что является абсурдом. Следовательно, равновесие действительно устойчиво.

Примечание. Когда сила зависит от скорости, величина Q

зависит по-прежнему от и еще от . Для нахождения положений равновесия нужно найти значения д, обращающие в нуль Q при условии, что - О- Если какое-нибудь положение равновесия будет найдено, то для того, чтобы узнать, устойчиво оно или неустойчиво, нужно будет исследовать движение точки, предположив, что она бесконечно мало смещена из этого положения равновесия и что ей сообщена бесконечно малая скорость. Примером того, как это нужно делать, служит теория математического маятника, подверженного действию сопротивления среды, пропорционального скорости. В дальнейщем мы дадим систематическое изложение иссле- /7 дования малых движений около положения устойчивого равновесия.

246. Движение тяжелой точки по неподвижной кривой.

Возьмем три прямоугольные оси, причем ось Oz направим вертикально верх. Проекции силы равны (рис. 155)

Х=0, К = 0, Z = -mg,

элементарная работа силы тяжести есть -mgdz, и уравнение






0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [120] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0036