= Qdq,

будет дифференциальным уравнением второго порядка, определяющим q в функции t.

В частном случае, когда сила зависит только от положения точки, Q будет функцией только от q, и интегрирование уравнения приводится к квадратурам. Действительно, уравнение кинетической энергии будет

.mv" „ . mv- mvl Г

=Qdq, --- = jQdq.

Из этого уравнения можно найти в функции q, для чего

нужно заменить v его значением (1). Получим

Таким образом, задача решается двумя последовательными квадратурами. Выражение содержит два знака. В начале движения известно, какой знак нужно взять, так как знак начальной скорости определяет знак начального значения ~. Этот знак нужно сохранять da

до тех пор, пока ~ не обратится в нуль; если по истечении конечного промежутка времени функция f (q) обратится в нуль, то скорость тоже обратится в нуль; тогда направление касательной составляющей силы определит направление движения, а следовательно, da

и знак . dt

Если сзществует силовая функция U (х, у, г), то первое интегрирование производится сразу. Имеем

mv" ,,, SI,

-2" = /(л;, у, z) + h.

где значение h равно --U {Xq, у, z,. После замены х, у, z их

выражениями через q, вычисления завершаются так, как указано выше.

245. Устойчивость равновесия. Допустим, что сила X, Y, Z зависит только от положения движущейся точки. Тогда величина Q будет функцией только от и для нахождения положений равновесия нужно найти значения q, обращающие Q в нуль (п. 92). Эта задача

у. /., а саедовательно, и Q будут функциями от д,~ п /, и уравнение кинетической энергии, написанное в виде

U{q)= / Qdq,

определенной с точностью до аддитивной постоянной. Мы хотим доказать, следуя Лежен-Дирихле, что если для какого-нибудь значения д - а эта функция U действительно имеет максимум, то соответствующее положение равновесия устойчиво.

Мы можем для упрощения положить а = 0, так как это равносильно замене параметра д новым параметром д - а. Мы можем также предположить, что функция U (д) обращается в нуль в рассматриваемом положении равновесия при д = 0, так как это сводится к подходящему выбору произвольной постоянной, которую можно добавить к и, т. е. нужно принять

U{g)= f Qdt.

Тогда при = 0 функция U {д) будет иметь максимум, равный нулю; это значит, что если s - произвольная положительная постоянная, меньшая некоторой, наперед заданной величины, то при всех значениях д, отличных от нуля и удовлетворяющих единственному условию

- s<g<e, (1)

функция и(д) будет отрицательной.

Считая, что число s выбрано сколь угодно малым, сместим точку из положения равновесия в некоторое начальное положение, соответствующее значению д параметра д, заключенному между -ей и сообщим ей начальную скорость Vq. Докажем, что можно найти два, таких положительных числа аир, что при выполнении только двух условий

VQ<a. р<9„<р,

точка в своем последующем движении не выйдет за крайние положения, соответствующие значениям + е параметра д, и даже не достигнет этих положений. В самом деле, так как величины U(в) и U{-s) отрицательны и не равны нулю, то можно найти положительное число р, которое будет одновременно меньше, чем-U (s) и меньше, чем - и {-в), так что сумма U{q)-\-p, будучи положительной при q=0, станет отрицательной при q~ ±г. При движении точки, согласно теореме кинетической энергии, будет

mv" mvi

- = Uiq)+-U(q,).

сводится к тем же вычислениям, что и при нахождении максимума и минимума функции

Определим и из условий

Из первого неравенства получаем для Vq верхний предел а, равный Vplm ; второе неравенство в силу непрерывности функции U (д), обращающейся в нуль при - О, требует, чтобы д было по абсолютному значению меньще некоторого положительного предела р. Тогда, если эти начальные условия выполнены, получим

-2- <U{g)+p.

Отсюда видно, что д не может достигнуть пределов + s, так как, если д достигнет какого-нибудь из этих пределов, то кинетическая энергия являющаяся существенно положительной величиной,

должна оставаться меньще правой части, которая при д - +г становится отрицательной, что является абсурдом. Следовательно, равновесие действительно устойчиво.

Примечание. Когда сила зависит от скорости, величина Q

зависит по-прежнему от и еще от . Для нахождения положений равновесия нужно найти значения д, обращающие в нуль Q при условии, что - О- Если какое-нибудь положение равновесия будет найдено, то для того, чтобы узнать, устойчиво оно или неустойчиво, нужно будет исследовать движение точки, предположив, что она бесконечно мало смещена из этого положения равновесия и что ей сообщена бесконечно малая скорость. Примером того, как это нужно делать, служит теория математического маятника, подверженного действию сопротивления среды, пропорционального скорости. В дальнейщем мы дадим систематическое изложение иссле- /7 дования малых движений около положения устойчивого равновесия.

246. Движение тяжелой точки по неподвижной кривой.

Возьмем три прямоугольные оси, причем ось Oz направим вертикально верх. Проекции силы равны (рис. 155)

Х=0, К = 0, Z = -mg,

элементарная работа силы тяжести есть -mgdz, и уравнение