Главная Промышленная автоматика.


т. е. вектор, равный ММ. Отношение этого приращения к приращению переменной есть вектор

имеющий ту Же линию действия и то же направление, что и вектор ММ.

Когда Дм стремится к нулю, вектор ММ стремится к некоторому предельному вектору MD, касательному к кривой, описываемой точкой М. Этот предельный вектор называется векторной производной вектора ОМ по и.

Аналитическое определение векторной производной. Возьмем оси Oxyz с началом в точке О. Координаты х, у, Z точки М суть проекции вектора ОМ на эти оси, причем проектирование на какую-нибудь ось производится параллельно плоскости двух других осей. Величины л:, у, Z являются функциями от и.

Когда а получает приращение Ды, то точка М переходит в М и X, у, г получают приращения Дх, Д, z. Так как вектор ММ имеет проекции Дх, Д;, Дг, то вектор MB, равный отношению ММ к Дм, имеет проекции

Ах Ду Дг Дм Дм Дм *

Полагая, что Ди стремится к нулю, мы видим, что проекции производного вектора MD суть производные

dx dy dz

1и Чй lu

проекций первоначального вектора.

VI. Полярные векторы. Аксиальные векторы. Скалярные величины

34. Характер симметрии вектора. Величины, изображаемые векторами, могут представлять собою два вида симметрии. С этой точки зрения они подразделяются на векторы полярные и векторы аксиальные.

Полярные векторы. Вектор А-В называется полярным, если представляемая им физическая величина симметрична относительно всех плоскостей, проходящих через АВ, но не симметрична относительно плоскости, перпендикулярной к АВ. Так, например, скорость и ускорение представляются полярными векторами. Можно сказать, что симметрия полярного вектора АВ будет такого же



вида, как и симметрия параболоида вращения вокруг оси АВу. Выбор направления осей и положительного направления вращения не содержится в определении полярного вектора.

Аксиальные векторы. Вектор АВ является аксиальным, если представляемая им физическая величина симметрична не только относительно плоскостей, проходящих через АуВ, но и относительно плоскостей, перпендикулярных к ABi, так что характер симметрии представляемой физической величины будет таким же, как у цилиндра вращения вокруг АВ.

Определение аксиального вектора зависит обычнЬ от соглашения относительно положительного направления вращения или направлений, приписываемых некоторым циркуляциям. Например, векторный момент BGy некоторого полярного скользящего вектора ABi относительно какой-нибудь точки В есть аксиальный вектор. Действительно, физическая величина, которую должен представлять вектор BGj, характеризуется: 1) плоскостью, проходящей через точку В и через ось вектора АВ; 2) площадью треугольника BABi. Но оба эти элемента симметричны относительно плоскости ВАВу. Направление, приписываемое вектору BG относительно этой плоскости, зависит от соглашения о выборе положительного направления вращения. Этот вектор является, следовательно, аксиальным. Представление момента при помощи вектора обладает, таким образом, некоторым несовершенством, так как оно вводит, вследствие произвольности выбора положительного направления вращения, диссимметрию, которой не имеет представляемый объект. Можно избежать этой диссим-метрии, условившись, например, изображать момент полярного вектора АхВх относительно точки В при помощи некоторого круга, описанного в плоскости ВАВ с центром в точке В, причем радиус этого круга равен величине момента и на контуре круга при помощи стрелки указано направление, в котором точка, перемещаясь вдоль AyBi, вращается вокруг центра В.

Это представление поясняет симметрию момента, но оно менее удобно, чем обычное представление момента, с других точек зрения. Векторный момент пары полярных векторов есть также вектор аксиальный.

Легко показать, что векторный момент BG некоторого векторного момента BG относительно точки В есть вектор полярный. Для этого достаточно установить, что вектор BG не зависит от какого бы то ни было выбора положительного направления вращения.

Эти положения имеют важное значение для физики. По поводу связанных с ними вопросов можно указать на мемуар Клейна, переведенный на французский язык Г. Падэ (Annales de IEcole Normale superieure, serie 3, т. VIII, 1891, стр. 87-193).

Скалярные величины первого и второго рода. Скаляром называют, обобщая уже встречавшееся заимствованное из теории кватернионов выражение, всякую величину, определяемую одним-



= Wk + 22 APfc cos РР,

где первая сумма распространена на все векторы, а вторая - на все их парные комбинации.

2. Для того чтобы система векторов была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы обращались в нуль их главные моменты относительно трех произвольных точек, не лежащих на одной прямой.

; Е. Study, Qeometrie der Dynamen, Leipzig, 1903 (первый выпуск вышел в 1901).

единственным Числом, как, например, плотность, температуру. Но при ЭТОМ могут представиться два случая:

а) Рассматриваемое число не зависит от направления осей координат. Мы буем говорить, что оно является скаляром первого рода.

б) Число, определяющее рассматриваемую величину, меняет знак при перемене направления осей. Такое число называется скаляром второго рода.

\\\. Другие геометрические образы, которые могут быть использованы в механике

33. Краткий обзор. Способ представления векторных величин, которого №ы до сих пор исключительно придерживались, очевидно, не является единственно возможным. Можно ставить в соответствие другим механическим велиаднам и другие геометрические элементы. Так, например, любой системе сил, приложенной к твердому телу, можно поставить в соответствие винты Болла.

Скользящий вектор, рассматриваемый как совокупность двух точек, взятых в определенном порядке, можно понимать как первое звено в ряде величин, образованных путем присоединения в определенном порядке не только точек, но и других простейших элементов пространства.

Э. Штуди *) занимался систематическим исследованием таких геометрических величин. Он ввел следующие величины.

Г. Крест, образованный совокупностью двух прямых, из которых одна находится на конечном расстоянии, а другая представляет собой пересечение плоскостей, перпендикулярных к первой, и вследствие этого находится в бесконечности.

2°. Биплан, представляющий собой систему двух не перпендикулярных между собой плоскостей, взятых в определенном порядке.

3°. Турникет - (moulinet), образованный точкой и плоскостью.

4°. Некоторые системы прямых, называемые моторами и импульсорами.

5°. Скользящие сферические векторы и т. д.

Мы ограничиваемся только перечислением, потому что нигде не воспел ;,зуемся этими понятиями, так как до сих пор они не нашли каких-либо важных приложений в механике. Мы отсылаем для их геометрического исследования либо к сочинению Штуди, либо к статье Люсьена Леви (Lucien Levy) во французском издании «rEncyclopedie des Sciences mathematiques*.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Показать, что модуль R результирующего вектора нескольких сходящихся векторов Рх, Рч.....Рп определяется формулой





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [12] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038