Главная Промышленная автоматика.

F = -m

гд я -начальное расстояние точки от притягивающего центра. Начальная скорость перпендикулярна начальному радиусу-вектору и равна k/a.

(Траектория является инверсией эллипса относительно его центра.)

20. Найти движение точки, находящейся под действием центральной силы

f- cos3 8 •

(Траектория- коническое сечение; частный случай законов, найденных Альфеном и Дарбу.)

21. Центральные силы с сопротивлением среды. Точка массы 1 движется под действием центральной силы F и сопротивления R, касательного к траектории. Доказать, что траектория плоская. Далее, приняв плоскость

dy dx

траектории за плоскость ху и обозначив через S величину х - У Ж

(Мы докажем эту теорему ниже, в п. 304. См. также Тиссеран Mecanique celeste, стр. 112.)

14. Точка, притягиваемая неподвижным центром по закону Ньютона, описывает гиперболическую траекторию. Вычислить также положение в каждый момент времени.

Применить тот же метод, что и для эллипса (п. 237); это введет логарифмы и показательные функции вместо функций тригонометрических и им обратных.

15. Метод последовательных приближений для решения уравнения Кеплера (п. 239). Пусть и - корень уравнения. Доказать следующие предложения.

1) На тригонометрической окружности отложим от начала А дуг две равные и противоположные по знаку дуги AM и AM, равные по абсолютному значению - - е. Если конец дуги i лежит на дуге МАМ, то cos и

положителен; если нет, то отрицателен.

2) Если cos и положителен, что зависит от расположения С, то все значения последовательности и,, И2, ..., и«, . - - начиная с некоторого момента, будут приближаться к и, причем или все с избытком или все с недостатком.

3) Если, наоборот, cos и отрицателен, то приближенные значения корня и, начиная с некоторого момента, будут попеременно приближаться к и то с избытком, то с недостатком, наподобие непрерывных дробей.

16. Притягивающий центр с абсциссой £ колеблется на оси Ох по закону S = й cos nt. Этот центр притягивает свободную материальную точку М пропорционально расстоянию. Найти движение точки М.

(Проекция траектории на плоскость уг будет эллипсом с центром в точке О.)

17. Найти движение точки, вызванное центральной силой, пропорциональной г/2г/р, где V - скорость точки, г - расстояние от нее до центра сил и р - радиус кривизны траектории. (Резаль, Comptes rendus, т. ХС, стр. 769.)

18. Найти движение точки, находящейся под действием центральной силы постоянной величины. Исследовать траекторию. (8 определяется как функция г эллиптическим интегралом. Ниже, при изложении естественных уравнений движения трчки на поверхности, мы увидим, что к этой задаче можно привести исследование движения тяжелой точки по конусу вращения с вертикальной осью.)

19. Найти движение материальной точки, находящейся под действием центральной силы

- 23 (да 4- 62) ЪкЧЧ"-



"-dt

под действием сопротивления среды, определяемого равенством R - k .

г"

Показать, что большая ось постоянно убывает; что эксцентриситет не изменяется, если п-\-п = 1, и уменьшается, если п + п > 1; что круговое движение устойчиво в обоих этих случаях.

(Нужно продифференцировать по й и i»2 формулы п. 237, вводя cos и.) (А. Веронне, Comptes rendus. т. CLXXM, CLXXVII.)

рез о-рассюяние от центра сил О до касательной и через р - радиус кри-визны, доказать формулы / = - - --, ц = -.

dx S dx

(Можно исходить из тождества - = , которое нужно про-

дифференцировать, вспомнив, что х dy - у dx = р ds, dy d-x - dx d-y = -,

- В частности, если R = kv, то получается интеграл S = Ае,

заменяющий интеграл площадей, причем s - описанная дуга кривой. (С и-а ч ч и, Comptes rendus, т. LXXXVII1.)

22. Доказать, что если в предыдущем упражнении предположить, что сопротивление пропорционально скорости, Р = fti), то будет существовать интеграл

5 = Се-Ч (Эллиот.)

23. Найти движение точки массы 1 под действием централ ьной силы

равной - - ~-. Этот закон сил, с достаточной для астрономии точностью,

является приближенным выражением притяжения удаленной точки сфероидом. (Г ю л ь д е н, Comptes rendus, т. XCL, стр. 957.)

24. Определить движение материальной точки, притягиваемой неподвижным центром, пропорционально расстоянию, при воздействии сопротивления среды, пропорционального скорости.

(Траектория плоская; для определения х и у в функции от t получаются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

25. Материальная точка, притягиваемая массой М, описывает круговую орбиту радиуса а. Обозначим через 8 период обращения, приняв за единицу времени естественный час (/=1). Имеем 8 = 2яYa/M. Если М - масса куба воды со стороной а, то М = а, 8 = 2я. Тогда материальная точка будет стрелкой абсолютных часов; за каждую единицу времени она будет описывать дугу, равную радиусу. (Липпман, Comptes rendus, 8 мая 1899.)

26. Исследовать изменение элементов траектории планеты или кометы



ГЛАВА XII ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ ИЛИ ДВИЖУЩЕЙСЯ КРИВОЙ

I. Движение по неподвижной кривой

244. Уравнения движения. Пусть дана кривая, по которой движется точка, И MF - результирующая действующих на эту точку внещних сил. Точка оказывает на кривую некоторое давление и кривая действует на точку равной и прямо противоположной реакцией, которая будет нормальна к кривой, если предположить, что отсутствует трение. Вследствие этого точка может рассматриваться как свободная в пространстве при условии, что к ней прилагаются сила F и реакция MN (рис. 154). Так как положение точки на кривой зависит только от одного параметра, то для определения движения достаточно только одног.о уравнения, не содержащего реакции. Это уравнение мы .получим по теореме кинетической энергии в виде

Рис.154. dXdx+Ydy + Zdz.

Уравнение не содержит реакции N, так как последняя, оставаясь нормальной к перемещению, не производит никакой работы.

Для завершения вычислений нужно выразить координаты точки кривой в функции некоторого параметра д:


хс?(д), у<\>{д), zio{g).

Тогда имеем

-=(§)+(fMS)=("+r+»)(f).

Xdx + Y dy + Z dz = {Xf + Y-y -f Zm) dqQ dg.

где Q обозначает выражение Atp-f-Kti--Zm. В наиболее общем случае, который может представиться, сила зависит от положения движзщейся точки, ее скорости и времени. Тогда компоненты X,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [119] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038