Главная Промышленная автоматика.

Следовательно, уравнение траектории будет

у = Л cos е + В sin 8 + X/fTl)

с произвольными постоянными А, в, с или А, В, X. Это - коническое сечение, касающееся двух неподвижных прямых, определяемых уравнением

<!/(«) = О или а (л;2 - у2) + 2pxy + t + у2) = а

Если а2 р2 .(2 = о или 62 вс = о, ТО ф (8) = а>2 (в), где функция ш(в) имеет вид Л cos в--/ sin 9. Уравнение имеет частное рещение вида

и траектория будет

,(6)

= Л cos 8 + В sin I

Это - уравнение конического сечения, касающегося в начале координат иеподвижной прямой о> (8) = О или kx -\- 1у = 0.

5. Доказать, что если удастся найти траекторию точки, движущейся под действием центральной силы тиФ (1/г, 8), то удастся найти траекторию и в том случае, когда сила

= тФ - - а cos 8 - 6 sin 9, 8 j (1 - аг cos 8 - йг sin 8) ,

где а и 6 - постоянные.

Ответ. Предполагается, что можно проинтегрировать уравнение

+ 1

V d82 + г I

= -г2ф(1,в).

и нужно доказать, что тогда можно проинтегрировать уравнение \

(1 - аг cos 8 - br sin 6)2

--а cos

i -6sin8,ej.

Но второе уравнение приводится к первому подстановкой

- = - 4- а cos 9 + 6 sin 8.

6. Зная, что под действием силы F-m\).r точка описывает коническое сечение с центром в начале координат, найти траекторию точки, движущейся под действием силы

р Ч}

/2 (- - acos 9 -6 Sin 9j

(второй из законов силы, найденных Дарбу и Альфеном).

Ответ. Этот вопрос является приложением задачи 5. Общее уравнение траектории, описываемой под действием силы Fy, имеет вид

у = а COS 9 -f 6 Sin 9 + /а cos2 9 + 2р cos 9 sin 8 -f f sin2 8, где a, p, f - три произвольные постоянные. Эта траектория является таким



d9 =

Yhr - СЧ"- -f (Л Yhr"- - a"-) {r"- -f b"-)

где явно указано, что один из корней многочлена относительно г- положителен, а другой отрицателен.

Полагая г = а cos f и V /г (а + 6 ) зайдем в нормальной форме

У"1 - Г Sln2 tp й2 -j- 62 •

Следовательно, !f = am[g-(6 - Bq)] и уравнение траектории получается в виде

г = йсп [5(е-9о)]. Время можно определить по формулам

Cdt = гЗ dfl, а = й2 J сп2 [g (6 - Во) ] dd , где интеграл может быть выражен через функции 6 и Я Якоби.

коническим сечением, что поляра начала координат относительно него является фиксированной прямой ах-{-by-1 = 0.

, 7. Годограф. При движении планеты вокруг Солнца откладывают от центра Солнца отрезки, равные и параллельные скоростям планеты в ее различных положениях. Найти геометрическое место концов этих отрезков, называемое годографом скорости.

Ответ. Годографом является окружность, центр которой находится на ординате фокуса и которая содержит фокус внутри себя. Это можно доказать, опираясь на соотношение pv - С, или на то, что геометрическое место проекций фокуса на касательные есть круг, или на то, что фигура, обратная кругу, есть круг.

8. Для нахождения годографа скорости точки, описывающей плоскую кривую по закону площадей вокруг центра О, надо: а) построить подеру г ((f) этой кривой относительно центра О (геометрическое место оснований, опущенных из центра О на касательные к кривой); б) найти инверсию подеры [кривую р (9), где р = kr, k = const. - радиус инверсии]; в) повернуть инверсию подеры на 90° вокруг О.

Для того чтобы годограф был окружностью, необходимо и достаточно, чтобы подера траектории была окружностью. В этом случае сама траектория будет коническим сечением с фокусом в точке О и сила будет обратно пропорциональна квадрату расстояния.

9. Точка описывает по закону площадей окружность, проходящую через центр площадей О. Найти закон силы: 1) в функции расстояния г, 2) в виде 9(е)/г2.

Ответ.

10. Найти движение точки под действием центральной силы/== -2т(л,у5, (J. > 0.

Ответ. По теореме кинетической энергии имеем г/а = - h. Нужно

<, п

различать случаи, когда величина h = --~ положительна, отрицательна

или равна нулю. Пусть h < 0. Тогда дифференциальное уравнение траектории будет

С dr Cdr



dxi ~ X dx

+ (l-~)/fcW = 0. (3)

Эти соотношения можно легко проверить, если заменить функции J их выражениями в "виде определенных интегралов. Возьмем, например, первое. Действие сведется к доказательству соотношения

J * COS (to - л: sin tp) dtp - j {cos [(Й-f I) tf - л: sin tf]-f

-f COS [(* - 1) ;p - X sin cp]) dtp = 0

или, заменяя сумму двух косинусов произведением косинусов, к доказательству соотношения

COS (tp - X sin !f) (ft dtp - X cos tf dtp) = 0.

Это соотношение очевидно, так как после интегрирования получается выражение sin (fttf - X sin tp), обращающееся в нуль на пределах.

12. Развернуть Jh(x) в ряд по целым возрастающим положительным степеням х.

Ответ. Можно воспользоваться выражением (х) в виде определенного интеграла; коэффициенты разложения будут содержать интегралы вида

J COS fttf sin" tp d.f, J sin Atp sin "cp dy,

которые легко вычисляются заменой sin" tp синусами и косинусами углов, кратных tp.

Можно также воспользоваться дифференциальным уравнением (3), под-гтпндяя в него Jui) в виде ряда

4 (X) = сйо + й1 у а, у + ... + а,, + ..

и вычисляя коэффициенты при помощи рекуррентных формул.

13. Теорема Эйлера. Время ,£7, затрачиваемое кометой для прохождения по параболической траектории от точки Р до точки Р, можно найти из формулы

%Yf(M + m)ff = (r + r + a)2 + (r-fr-a)

где гиг - радиусы-векторы обоих положений Р п Р, an - хорда РР.

Если положить b = са, h = О, hb- = - ii = - (У, k- = 0, то, как вытекает из соотношений между коэффициентами и корнями, получится окружность г = й cos (6 - Во).

11. Функции Бесселя. Доказать следующие соотношения:

kJ„(x) = [Jj,+Ax) + Jk-i(x)]. (1)

= lft-iW-A+iU)] (2)

dVfeU) , 1 dJkix) .(, ki





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [118] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038