Главная Промышленная автоматика.

постоянных 9, ср, ш, а, е, т, которые называются шестью элементами эллиптического движения. Вместо -х часто вводят элемент е, определяемый формулой

И называемый средней долготой в нулевую эпоху. Тогда прямоугольные координаты X, у, z планеты определяются в функции t и шести эллиптических элементов формулами вида

х = fi (t, 9, ср, (В, а, е, е), у = fiit, 9, (р, (1), й, е, £), г = f(i, 9, (р, (В, а, е, е).

которые нам нет надобности здесь приводить.

241. Метод вариации постоянных. Если бы солнечная система состояла из Солнца и только одной планеты, то шесть элементов эллиптического движения сохраняли бы в течение неопределенного времени свои значения. Но, как мы видели, эллиптическое движение является лишь первым приближением для движения планеты. Действие других планет на рассматриваемую планету сказывается в возмущении этого эллиптического движения. Для представления возмущенного движения, которое является действительным движением планеты и которое несколько отличается от эллиптического движения, сохраняют формулы (А), рассматривая в них шесть элементов 9. ср, со, а, е, s не как постоянные, но как-функции от t. С течением времени под действием других планет эти элементы будут по.{учать приращения 89, Sep, bw, Ьа, Ье, Ье, которые называются возмущениями элементов и которые вызовут соответствующие возмущения координат х, у, Z. Раздел небесной механики, посвященный вычислению этих приращений, называется теорией возмущений.

242. Параболическое движение комет. Представим себе комету М, описывающую параболу, фокус которой находится в центре Солнца, что имеет место для огромного большинства комет. Обозначая через w угол, образованный радиусом-вектором SM = г с радиусом-вектором SA перигелия (рис. !53), напишем:


Рпс. 153.

2 COS "2

На основании интеграла площадей имеем

г2 c)w = с (it = Y.f(M 4- т) р dt.



2У/(М4-ОТ) dm

2 cos*

откуда, интегрируя и обозначая через т момент прохождения через перигелий, найдем

Таково уравнение третьей степени относительно tg которое необходимо рещить, чтобы найти положение планеты в момент t. Уравнение имеет только один вещественный корень. Полагая в этом уравнении р - 2q и замечая, что УМ-\-т можно заменить через 7И, так как массой т кометы можно вполне пренебречь по сравнению с массой Солнца, мы можем представить уравнение в виде

Существуют численные таблицы корней этого уравнения для ряда значений левой части, причем масса М Солнца принята равной 1.

243. Параболические элементы. Для определения параболической орбиты кометы задают пять независимых элементов 9, tp, т, т и q, из которых первые четыре имеют те же значения, что и для планет,

г q = ~ обозначает расстояние перигелия (см. «Небесную механику» Тиссерана).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Для движения точки, притягиваемой к неподвижному центру О силой F = ~ mkr, пропорциональной расстоянию, было показано, что траектория является эллипсом с центром в точке О и что скорость точки в произвольном положении М пропорциональна полудиаметру Ъ, сопряженному с ОМ: V = kb. Показать, что, пользуясь этими результатами, можно с помощью теорем площадей и кинетической энергии доказать теоремы Аполлония.

Ответ. Пусть, О.М = а. Теорема площадей выражается равенством pv = С. Но это произведение pv равно взятой k раз площади параллелограмма, построенного на а и Ь. По теореме кинетической энергич 1/4+ kV- = h, откуда k- (а" + b) = h.

где т - масса кометы, а М - масса Солнца. Действительно, из рассмотренной нами задачи двух тел вытекает, что комета движется вокруг Солнца так, как если бы Солнце было неподвижно, а сила, с которой оно притягивает комету, равнялась

f{M-\-m)m fiOT

р5 - -j-

Постоянная площадей будет тогда С = Yv-P ~Yfi>)P Следовательно,



которое является линейным с постоянными коэффициентами относительно 1/г.

Форма общего интеграла меняется в зависимости от знака 1 + -- Когда эта

величина равна нулю, 1/а будет многочленом второй степени относительно 9; когда она положительна и квадратный корень из нее рационален, траектория есть алгебраическая кривая.

3. Найти движение точки, когда

т{а+Ь cos 26)

Ответ. Надо проинтегрировать уравнение

г , 1 а 4-* cos 26 --i- у =--2- (С - постоянная площадей).

Его интеграл имеет вид

1 = Л cos 6 + В sin 6 - А cos 26.

Траектория является алгебраической кривой четвертой степени при любых значениях А, В, С, если только b не равно нулю. В последнем случае траектория будет коническим сечением, так как закон притяжения станет законом Ньютона.

После этого при помощи квадратуры можно определить t из интеграла площадей.

4. Найти движение точки, когда

Р mfi

г2 (а cos2 6 + 26 sin 6 cos 6 4- с sin 8)= г» (а cos 29 + р sin 29 -f- y)=

где a, b, с-постоянные, a a, p, у имеют значения: a = , p = 6, -j = -- .

(Это один из законов центральной силы, лайденных Дарбу и Альфеном.)

Ответ. Если положить ф (6) = а cos 26 -j- р sin 29 -f- Т> то придется проинтегрировать уравнение

- + = -[4(в)]"

Если а2 р2 2 или 62 - ас отличны от нуля, то, как легко убедиться, это уравнение допускает частный интеграл вида

-)г = Х/И9). = C2(a--+-V-f-)

2. Найти движение точки под действием центральной с.1лы, выраженной формулой

-»(+)

где а а b - постоянные.

Ответ. Для нахождения траектории нужно проинтегрировать уравнение





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [117] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0772