Главная Промышленная автоматика.

cos ju (1 -е COS и) du.

Этот интеграл равен нулю при j > 1; при у = 1 он равен -nejl. Следовательно,

р<1) = -е, р(Л = 0 (У>1). Далее, интегрируя по частям, находим (г > 0)

X TI тс

/if г

COS уи COS /С rfC = у J i-us yu sin - -т J sin уи sin г dl.

Проинтегрированная часть равна нулю; после замены в другой части произведения синусов разностью косинусов и величины С ее значением и - е sin и найдем

тс TZ

р/> = J- / COS [(Z -у)и -/esinulrfn --j / COS [(г 4-у) и -/е sin и] rfa.

В случае, когда эта функция нечетная, разложение содержит только синусы и не имеет свободного члена.

Следовательно, для та ju и sin/и мы получаем, используя обозначения из первого тома Небесной механики Тиссерана, разложения следующего вида:

cos 7« = Y pf + р\ cos С + cos 2С + ... + pf cos /С + ..., (а) sin ju = 9</ sin С + qi sin 2С + ... + sin iC + ... (b)

Здесь коэффициенты определяются известными формулами

дУ) = j COS ju COS /с dC, - = У sin уи sin /с rfC,

из которых первая может быть получена сразу умножением обеих частей разложения (а) на cos 1, (f, и интегрированием от О до я, после чего все члены правой части, кроме члена, соответствующего р[\ обратятся в нули. Мы займемся сейчас вычисленизм коэффициентов р-р; коэффициенты qf вычислятся аналогичным образом. Прежде всего, полагая 1 = О, имеем

Y/(/* = J cos уи arc, о

или, заменяя S переменной и - е sin и и замечая, что если и изменяется от О до л, то С будет из.меняться тоже от О до я, имеем



Jj (х) = - I cos (k<f - X sin cf) d<f

определяет функцию Фурье - Бесселя. Существует, следовательно, бесчисленное множество функций Фурье - Бесселя, соответствующих всем положительным, или отрицательным, или нулевым значениям целого числа k. Легко видеть, что всегда можно считать k положительным. В самом деле, меняя (f на 71 - tf, получим dtp = - dtp и из написанного выше интеграла находим:

= / cos (-ср-х sin 9)d<f=(-!)* J-k(x).

Эта формула позволяет переходить от отрицательных индексов к положительным. Функция (х) является целой трансцендентной функцией от х, содержащей X* множителем; раскладывая эту функцию по степеням х, найдем

1-(*4-1) 1-2(* + 1)(* + 2)

1.2.3(-f 1)(*+2)(4-3)

Согласно этим обозначениям мы получаем следующие значения для коэффициентов />У:

pf = [Ji-j{le)-Ji+j{.ie)\-

Точно так же находим

9? = f [Л•-•a«) + Л+•(/)]• Пoдcтaвляя эти значения в выражения для cos ju и sin ju, мы получим искомые разложения, сходящиеся при всех значениях е между О и 1. Так, например.

cos и = - I + 21 - -i+i ()]

i = i

Если в этом разложении найти коэффициенты при е, е, то мы снова по.чучим те же значения, что и в написанной ранее формуле Лагранжа. Тем не менее оба эти разложения совершенно различны. Разложение Лагранжа расположено по степеням е и сходится только при значениях е, меньших некоторого предела; только что полученное разложение расположено по косинусам и синусам целых кратностей С и сходится при всех значениях е от О до 1.

Более подробные сведения о функциях Фурье - Бесселя можно найти в сочинении Тодгунтера, On Laplaces, Lames and Bessels Functions

Сюда и входят функции Фурье - Бесселя, которые можно определить следующим образом. Пусть k - целое число и х - параметр. Выражение




и в Traite de Mecanique celeste Тиссерана, из которой .мы многое заимствовали. До Бесселя эти функции встречаются у Фурье. По этому вопросу можно указать на статью Аппеля и на несколько статей Пере, Акимова и Жуковского (Comptes rendus годы 1915, 1916, 1917).

240. Элементы эллиптического движения. Эллиптическое движение планеты определяется в пространстве шестью постоянными. Проведем через центр S Солнца (рис. 152) три оси Sx, Sy, Sz с неизменными направлениями. В настоящее время обычно принимают за плоскость ху плоскость эклиптики на 1 января 1850 г., за положительные оси Sx и Sj/ -прямые, направленные в точку весеннего равноденствия и в точку летнего солнцестояния той же эпохи, и за положительную ось Sz направление на северный полюс эклиптики. Плоскость орбиты планеты пересекает плоскость ху по линии ЛЛ, которая называется линией узлов. Точка N пересечения орбиты с плоскостью эклиптики является восходящим узлом. ~

Это -точка, которую пересекает планета, когда ее координата z переходит от отрицательных значений к положительным. Другой узел N является нисходящим. Для определения плоскости орбиты задают угол 9 = xSN, который считается положительным от Sx к Sy и называется долготой восходящего узла, и угол наклонения ср между плоскостью орбиты и плоскостью эклиптики; этот угол ср измеряется углом между перпендикулярами в точке N к прямой SN, из которых один лежит в плоскости эклиптики и направлен в сторону движения Земли, т. е. от Sx к Sy, а другой лежит в плоскости орбиты и направлен в сторону движения планеты (или кометы). После того как плоскость орбиты установлена, надо определить положение и размеры эллипса. Пусть А - перигелий; обозначим через ш сумму углов xSN и NSA, причем последний угол отсчитывается от SN в сторону движения; угол ш называется долготой перигелия. Угол NSA равен ш - 9. Этот угол определяет положение эллипса; для определения размеров этого эллипса задают его большую полуось а и его эксцентриситет е. Наконец, для указания закона, по которому планета описывает свою

орбиту, задают период обращения Т или среднее движение n = -j-

и момент x прохождения через перигелий. Заметим, что а и Т не независимые величины, так как они связаны установленным ранее соотношением (п.236):

fiM+m)==-j,

где М - масса Солнца, а т - масса планеты. Итак, для определения движения планеты или периодической кометы необходимо знать шесть





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 [116] 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.005