Главная Промышленная автоматика.

щх =eslnMj-(-C.

откуда

- г) = м - е sin и.

Полагая п - 2tzIT. мы придем к уравнению Кеплера

и - esin и = n(t - т).

Для нахождения геометрического смысла средней аномалии п (t~x) вообразим движущуюся точку, выходящую из А одновременно с планетой и пробегающую описанную окружность равномерно, причем так, чтобы прийти в А одновременно с планетой. К моменту t эта точка будет в М"; угол I = М"ОА будет средней аномалией. В самом деле,

: = it-) = n{t-T).

Этот угол С меньше угла а, если sin и положителен (рис. 151).

Что касается выражения г в функции и, то оно получается из того, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до соответствующей директрисы DD равно е. Следовательно, имеем

г = еМК = е (0D - ОН) = « - - а cos == а (1 - е cos и),

так как расстояние 0D от центра до директрисы равно afe.

239. Аналитические преобразования. Для вычисления положения планеты в момент t необходимо сначала найти эксцентрическую аномалию и при помощи уравнения Кеплера

M = -fesinM • [J = п( -т)]. (1)

После этого найдутся.все остальные координаты, которые все выражаются в функции м. Какова бы ни была дуга С, уравнение (1) Кеплера имеет один корень, который мы обозначим через и. В самом деле, С заключается между двумя целыми числами, кратными я:

k7l<l<{k + \)г..

В функции ср (и) = м - е sin и - С положим и - kit; тогда получим 9 (kn) = k-!i - l<0,

в то время как

срР4-1)1 = (й + 1)™->0.

Следовательно, между kit и (k-\-\)it всегда и.меется вещественный корень. Более того, этот корень будет единственным, так как производная (р («) = 1 - е cos и всегда положительна, поскольку е заключается между О и 1.

1°. Последовательные приближения. Единственный вэщественный корень уравнения (1) можно вычислить последовательными приближениями "ледующим образом.

Пусть «о -• произвольная вещественная дуга. Положим

«1 = е sin «о + С, «2 = 6 sin «1 -f С,



Кёнигс указал следующий метод, позволяющий доказать, что величины Ux, Uo, Un действительно стремятся к искомому корню и и оценить предел ощибки при замене м„ через «. Этот .метод является приложением к уравнению Кеплера общих результатов, заключающихся в работах Кёнигса по функциональным уравнениям (Annales de IEcole Normale, 1884, и 1885).

Обозначая через и единственный вещественный корень, имеем

Ui+ X - и esinMi4- - "

Но так как то можно также написать

Щ - и П{ - и

с - « = - е sin н.

. и,- - и

sin -~

Ui+x - " е sin U{ - sin и мН- и " 2

М, - и Ui-U

Так как модули величин

Ui + и cos --4- и

Ui-и

щ - и

Ui - и

меньше единицы, то

Щ+х - и

Ui - U

Отсюда умножением выводим

Un - u «о -и

Но е заключается между О и 1, а е" стремится к нулю, когда п неограниченно возрастает; следовательно, предел «„ равен искомому корню и. Таким образом, последовательность величин «О "ь «п имеет предел и. Более того, предыдущее неравенство показывает, что эти величины непрерывно приближаются к своему пределу и. Этот факт замечателен, так как «о выбрано совершенно произвольно. Если каким-нибудь образом удалось найти приближенное значение для и, то его можно принять за Uq и тогда uj, к,, ... будут еще более приближаться к и. Допустим, что в качестве Uq принято, как это часто делают, само значение 1. Мы нашли

и„ - и

< ё".

Но из соотношения

получается

и, следовательно.

Uo - u и - е sin « = с

К -u < е Un - u\ < е"+1.

Мы нашли, таким образом, оценку совершаемой ошибки. Например, для

Земли приблизительно е = ~ и достаточно трех действий (п = 3), чтобы

получить и с семью точными десятичными знаками.

2°. Номограмма. ДОкань, прилагая к уравнению Кеплера общие методы номографии, дал в Bulletin de la Societe mathematique de France (т. XXII, 1894)



F (t)]

2! dt

еп rfm-l[/m(QF(C)]

Мы отсылаем за доказательством этой формулы к курсу анализа Эрмита и к мемуару Рушё (Journal de IEcole Polytechnique, вып. XXXIX). В уравнении Кеплера имеем

/(С) = sin С

и за функцию F{u) можно последовательно принимать эксцентрическую аномалию и, или радиус-вектор а{\-й cos «) или любую другую функцию м, разлагающуюся по степеням е. Так, например,

м = С + е sin С -Н 2 sin 2!: -f (Т- sin ЗС - 3 sin С) + ...,

cos « = cos С + - (cos 2: - 1) -f (3 cos ЗС - 3 cos С) -f ... .

Лаплас первый нашел, что эти разложения сходятся до тех пор, пока е остается меньше О, 662743 ... Коши подтвердил этот результат более прямым методом.

4°. Функции Фурье - Бесселя. Предыдущие разложения сходятся для планет, но перестают сходиться для некоторых периодических комет, описывающих вокруг Солнца очень вытянутые эллипсы. Тогда можно применить

для cos и, sin гг.....cos ju, sin jn, где у -целое положительное число, метод

разложения в ряды по функциям Фурье - Бесселя, пригодные для всех значений эксцентриситета, заключенных между О и 1. Чтобы показать идею этих разложений, заметим сначала, что уравнение Кеплера

и - е sin u = t

определяет и как нечетную функцию переменного С, так как это уравнение не перестает удовлетворяться при одновременной перемене знаков у С и й. Более того, если средняя аномалия С увеличивается на 2п, то на столько же увеличивается и эксцентрическая аномалия и. Вследствие этого cos ju и и sin Ju, где j - целое положительное число, будут функциями переменного С не изменяющими своих значений, когда С увеличивается на 2v., причем первая будет четной, а вторая - нечетной. Известно, что любая конечная и непрерывная вещественная функция переменной С, не изменяющаяся, когда С увеличивается на 2%, разлагается по формуле Фурье в ряд по синусам и косинусам it, где / = 1,2, ... В случае, когда разлагаемая функция от t - четная, разложение содержит только косинусы и свободный член;

номограмму для решения этого уравнения. Эта номограмма позволяет быстро получить первое приближенное значение для неизвестной, исходя из которого можно, применяя строгие методы, найти более точные приближения.

3°. Ряд Лагранжа. При помощи ряда Лагранжа можно получить разложения и, sin u, cos и, и - С, г, ... по возрастающим степеням е. Рассмотрим уравнение вида

« = С + е/(и),

определяющее и в функции переменных С и е; обозначим через и тот из корней этого уравнения, который стремится к С, когда е стремится к нулю Лагранж поставил себе задачей разложить заданную функцию F{u) этого корня в ряд, расположенный по возрастающим положительным степеням е. Он дал для этого формулу





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 [115] 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.004