Главная Промышленная автоматика.

Следовательно,

\dt I г"- г а

Разрешая уравнение относительно (-j и заменяя €? его значением jAa(l - е), получаем:

/ ~ г- г а"

что может быть написано так:

Отсюда

dt=±

f аЧ- - (а - гУ

Обозначим через т момент прохождения планеты через перигелий.

Тогда г после момента т будет сначала увеличиваться, будет

положительным и в вышенаписанном равенстве нужно будет взять знак -\-. Этот знак нужно сохранять, пока г возрастает от своего минимального значения г-=а - с = а(1-е) до своего максимального значения /--a(l-j-e). Положим

а - r - aezQsa,

что возможно, так как а - г все время меньше, чем ае\ переменная и за полный период обращения изменяется от О до 2и. Тогда получим уравнение

dt = a{ \ - е cos и) da.

которое непосредственно интегрируется, и так как при / = т величина к обращается в нуль, то

Вычислим теперь время, затрачиваемое планетой для достижения какой-нибудь точки траектории. Мы нашли

г г а

а, с другой стороны, для скорости после исключения М при помощи теоремы площадей dQ==C dt получается выражение



1 -f- е cos W

В этом уравнении числитель равен параметру р. Приравнивая это значение г найденному выше значению а(1-ecosa), получим уравнение

1 - е cos и = i-,

1 + cos г»

откуда находим:

/, , ч/, ч 2a(l+)sin2 4

. „ . „ te; (1 + (1 - cos u) у 2

1 - cos w = 2 stn2 = ,-- - --.

2 1 - cos u r

4/11 Ч 2a (1 - e) cos2- (1 - g) (1 -b cos u) 2

1-f cos2cos= У-- 2 1 - e cos a

Таким образом, / выражено в функции и, г и связано с г соотношением

г = а{\ - ecosK). (1)

Если надо вычислить положение движущейся точки в момент t, то первое из этих уравнений определит к, а второе позволит вычислить г.

Введенный нами угол и называется эксцентрической аномалией. Обычно пишут левую часть уравнения, связывающего г и м, в виде n{t - т), полагая

а г а

Тогда n{t - i) есть то, что называют средней аномалией. Так как для }А было найдено значение

то п -где Т - период обращения, и уравнение для и принимает вид

n{t - = M - esinu; (2)

оно показывает, что действительно должно быть п - ~, так как правая часть увеличивается на 2tz одновременно с и, т. е. после каждого оборота. Коэффициент л = называется средним движением. Полученное нами уравнение носит название уравнения Кеплера.

Мы выразили г в функции к; остается теперь выразить в функции и истинную аномалию w. Для этого будем исходить из уравнения эллипса в полярных координатах:

а(1 2)



и, извлекая квадратные корни, получаем

/7 sin 1 = Vail +е) sin I, /г cos =

-e)cos-2. (3)

Эти формулы, удобные для вычислений при помощи логарифмов, позволяют определить г и та в функции и. Делением получаем из них соотношение

to- - = 1/ -- -

связывающее истинную и эксцентрическую аномалии.

238. Геометрический метод. Для определения положения планеты на ее орбите в момент времени / можно применить геометрический метод, который указывает смысл введенных выше переменных. Из-

вестно, что эллипс можно рассматривать как проекцию описанного круга, который нужно повернуть вокруг большой оси АА на угол, косинус которого равен Ь/а. Пусть М -точка эллипса и М - соответствующая точка описанного круга (рис. 151). Тогда

пл (MFA) = пл (МРА).

д о\ гм д

Рис. 151.

Угол MFA есть угол w, названный ранее истинной аномалией, а угол МОА равен эксцентрической аномалии и. В самом деле, площадь сектора МР А равна

МР А = МОА - МОР =~аЧ - аЧ sin и.

т. е.

и, следовательно.

МР А = {u - esm и).

MFA = (и - е sin к).

Площадь этого сектора пропорциональна времени, затрачиваемому на то, чтобы описать ее. Следовательно, если обозначить через (t - т) это время, а через Т период обращения, то должно быть

пл {MFA) шЬ

t-x ~~ Т •

Заменяя MFA его значением, получим

{и - е sin н)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [114] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0064