Главная Промышленная автоматика.

236. Масса планеты, обладающей спутником. Полученная нами формула

/(Л1 + т) = -;5-

позволяет, как показал Ньютон, вычислить массу планеты, обладающей спутником.

Пусть т и т, - массы планеты Р и ее спутника S (рис. 149). Силы Ф и Ф - действия Солнца и других планет на рассматриваемую планету и ее спутник - почти параллельны и пропорциональны массам, так как расстояние г, от планеты до ее спутника очень мало по сравнению с расстояниями от этой же планеты до других тел солнечной си-Рис. 149. стемы. Поэтому если мы обозначим через X, V, Z проекции сил притяжения этими другими телами единицы массы планеты, то уравнения движения планеты и ее спутника будут:


dz df

= тХ-

fmnti Xi - X

-nV-h-.---

dxt df

d 1 df

d"-z.

y. fmrn, xi - x

= "г--;

- r»v /ww, Уг -у

- туТ[--- ,

/wwi z, - z

m,Z---2--•

Перенесем оси параллельно самим себе в точку Р и пусть Ху, у, 2i-новые координаты спутника S:

х[ = х, - X, у[=Ух - у. z[=Zy - 2.

После сокращения на множители т к мы получим, вычитая уравнения (Р) из уравнений (Е), три уравнения относительного



движения

dt"-d"z\

f(m + m,)

f(m + my)

f(m-\-m)

(Si)

в которых силы Ф и Ф исчезли.

Из уравнений (Ej) видно, что спутник описывает вокруг планеты эллипс так, как если бы эта планета была неподвижной и притяги-

ла свой спутник с силой ---Если обозначить через

большую полуось орбиты спутника, а через щения, то получим

-его период обра-

/(m + m,) =

Так как, с другой стороны, для самой планеты

то, деля эти равенства почленно друг на друга, получим

т. т.

Если масса спутника очень мала по сравнению с массой планеты, l + mi/m почти равно единице и мы приближенно

то отношение имеем

1 +/и/УИ

что позволяет вычислить отношение массы планеты к массе Солнца.

При выводе последней формулы мы предположили, что масса очень мала по сравнению с массой т. Этого нельзя сделать, если мы пожелаем применить наши вычисления к системе, образованной Землей и Луной. В этом случае прибегают к другому приему.

Формула

f{M + m) = (1)

справедлива всегда. С другой стороны, если на поверхности Земли



- 1.

По вопросу об определении масс небесных тел мы отсылаем к заметке Тиссерана, опубликованной в IAnnuaire du Bureau des Longitudes за 1894.

237. Определение времени в эллиптическом движении.

Вернемся опять к задаче двух тел и вспомним, что планета Р массы т. движется относительно осей, имеющих неизменные направления и проведенных через центр S Солнца так, как если бы Солнце было неподвижным, но имело массу, равную своей истинной массе М, увеличенной на т. Планета движется тогда вокруг Солнца как

материальная точка массы т, находящаяся под действием центральной силы

Р f {М-\- т)т [Л/га


Орбитой является эллилс с фокусом в точке S, плоскость которого мы примем Рис. 150. за плоскость ху. Обозначая через р пара-

метр этого эллипса, через а - его большую полуось и через е - его эксцентриситет, мы получим, как это было показано в п. 227, следующие выражения для постоянной площадей С и постоянной h кинетической энергии

Вершина А (рис. 150), ближайшая к Солнцу, называется перигелием, а вершина А - афелием. Обозначим через ш угол, образованный радиусом-вектором перигелия и осью Sx, а через та - угол ASP между радиусом-вектором г - SP планеты и прямой SA; этот угол называется истинной аномалией. Полярный угол xSP связан с аномалией очевидным соотношением 6 = та -j- о, где со - постоянная.

взять материальную точку с массой, равной 1, то можно будет определить, как мы это покажем впоследствии, силу притяжения А этой точки Землею. Известно, что если считать Землю сферической и состоящей из однородных концентрических слоев, то ее притяжение будет равно притяжению материальной точки массы т, находящейся в центре Земли. Другими словами, для силы притяжения имеем

= (2)

где р - радиус Земли. Исключая / из равенств (1) и (2), находим искомое соотнощение

М 4n2aS





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [113] 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039