Главная Промышленная автоматика.

Р, Б, Б, ..., будут силами, равными и противоположнымп предыдущим; ,если их перенести параллельно им самим в точку О, то они будут иметь равнодействующую F, равную и прямо противоположную силе F. Следовательно, действие группы Р, Х, ... на точку М и движение центра тяжести О группы будут почти такими, как если бы вся масса группы была сосредоточена в ее центре тяжести.

Поэтому можно вначале рассматривать солнечную систему, как образованную ограниченным числом материальных точек, притягивающихся по закону Ньютона и помещенных: одна-в центре тяжести Солнца, другая - в центре тяжести Меркурия, третья - в центре тяжести Венеры, четвертая-в центре тяжести Земли и Луны, пятая-в центре тяжести Марса и его двух спутников и т. д.

Полагая число групп равным п, мы получим, написав уравнения движения п центров тяжести, Зп дифференциальных уравнений второго порядка, - по три для каждого центра тяжести. Эти уравнения, интегрирование которых составляет задачу п тел, допускают семь известных первых интегралов, которые мы укажем как приложения общих теорем о движении системы. Современные средства анализа не допускают выполнения интегрирования этих уравнений. Тем не менее в небесной механике оказалось возможным при помощи этих уравнений вычислить с достаточной степенью точности движение центров тяжести небесных тел благодаря тому, что массы всех тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца. Так, масса Юпитера, наибольщая во всей системе, не составляет тысячной доли массы Солнца. Приведя число тел к трем, получим знаменитую задачу трех тел.

235. Задача двух тел. Рассмотрим Солнце и определенную планету, как две материальные точки, совпадающие с их центрами тяжести. Так как массы остальных тел солнечной системы очень ма-д>1 по сравнению с массой Солнца, то в первом приближении мы положим их равными нулю. Другими словами, допустим, что солнечная система состоит из Солнца и одной единственной планеты. Мы приходим таким образом к простой задаче двух тел, для которой можно найти все интегралы. В небесной механике исследуется, каким образом, после того как эти интегралы будут вычислены, надо их изменить, чтобы рассчитать действия остальных тел солнечной системы.

Пусть М и т - массы Солнца S и планеты Я, а а, р и 7, х, у, Z--их координаты. Так как абсолютное значение силы притяжения обеих точек равно , то проекции силы, действующей на Солнце S, будут

fMm х-а. fMm у - fMm г - 7



а проекции силы, действующей на планету Р, будут иметь те же выражения, но с обратными знаками. Тогда будем иметь уравнения движения:

r"-

r"-

/•«

Легко проинтегрировать эту систему, определяющую а, р, f. х, у, г в функции t, присоединяя к ней соотношение

r = {x - af + {y - f + {z-(f.

Сложим почленно соответствующие уравнения систем (S) и (Р).

Тогда получим три уравнения вида


Рис. 148.

которые, если обозначить через т[, С координаты центра тяжести системы, т. е.

g Ма.\-тх

~ М+т

преобразуются к виду:

Эти три уравнения показывают, что центр тяжести системы совершает прямолинейное равномерное движение, т. е. выражают лишь частный случай общей теоремы о движении центра тяжести.

Найдем теперь относительное движение точки Р по отношению к S. Для этого перенесем оси в точку S (рис. 148) и пусть х,, у у, г - новые координаты планеты Р:



dfi ,-2 r

Это - уравнения относительного движения. Их вид показывает, что точка Ху, Уу, Zy движется относительно точки S так, как если бы последняя была неподвижна, имела бы массу М-\-т вместо М и продолжала бы притягивать точку Р по закону Ньютона. Действительно, вышенаписанные уравнения являются уравнениями движения точки массы т, притягиваемой к неподвижному началу силой

f(MA-ni)m „ и.т г ял ,

-----, имеющей вид где \). = f (М-\-т).

Отсюда следует, что к этому движению применим первый закон Кеплера: относительная траектория является коническим сечением, имеющим фокус в точке S и описываемым по закону площадей. Так как речь идет о планете, то это коническое сечение является эллипсом, и если вычислить элементы этого эллипса, то, обозначив через а большую полуось и через Т - период обращения,мы получим соотнощение, связываюиее эти два элемента:

х = f(M-\-m)-

Мы замечаем, что отношение alT не зависит от т..

Если коэффициент / известен (п. 230), то из этого соотношения можно получить приближенное значение для М-\-т.

Для другой планеты с той же степенью приближения имеем

откуда выводим

4 1 + -м

от, М

Так как отношения miM и Шу/М будут порядка тысячных долей, то мы видим, что член в правой части очень близок к единице. Вследствие этого третий закон Кеплера является только приближенным законом.

Если ИЗ уравнений (S) вычесть уравнения (Р), сократив их предварительно на Ж и т, то они примут вид:

d-xy f(M + m) xi

dfi ri г

d-ух f{M + m) у,

dfi ~~ r"- r

d-zy f{M + m) z,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 [112] 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039