Главная Промышленная автоматика.

(Вх + Су + Ef

2) У=-

(Ах"- + 2Dx + Ff

Следовательно, имеется также два закона для центральных сил, удовлетворяющих требованиям задачи. На основании формул преобразования (2) и (4),

xi 1 Уг, x = -L, у = -, F, =--

У1 У, yi

эти силы определяются формулами:

1) Fi = -

1>.Г,С

(Вх, + £у, + Cf -

2)F, = -

{Axi+2Dx,y, + Fy) Это и будут два закона сил, открытых Дарбу и .\льфецом.

и. 1, так как в начале движения эти четыре величины произвольны. Имеем, следовательно,

Условия (7) показывают, что <в является многочленом второй степени

У- <р (л:, у) = Ах 4- 2В;су + Су"- + 2Dx + 2Еу + F.

Этот многочлен должен удовлетворять условиям (8); здесь необходимо различать два случая в зависимости от того, равен ли коэффициент С нулю или нет.

Г. CsO. Тогда - = 2С и второе из тождеств (8) дает выражение

которое удовлетворяет, как это можно непосредственно проверить, также и первому из тождеств (8).

2°. С = 0. Тогда из второго тождества (8) имеем = О, т. е. <р не

зависит от у. Следовательно,

8 = С = £ = О,

9 = Ax-i + 2Dx + F

и neiiBoe из тождеств (8), очевидно, удовлетворяется.

Таким образом, имеется два закона параллельных сил, отвечающих требованиям задачи. Эти законы на основании равенства (6) выражаются формулами:

1) У= f



(Вгу cos е + Егу sin е + q» ,-J (л cos в + 2D sin 8 cos 8 + sln-i 8/

где вместо (лС написано [х..

Если допустить, что действие звезды на какую-нибудь материальную точку зависит только от расстояния г между точкой и звездой, а не от направления 8 радиуса-вектора, то обе силы не должны зависеть от 8, и тогда для первой силы требуется, чтобы В = Е - 0, а для второй, - чтобы D = О, А - F. Вместе с тем эти случаи являются единственными, когда для обоих законов сил существует силовая функция. Законы сил при этом будут

" Al ri

При первом законе, когда сила пропорциональна расстоянию, точка приложения будет описывать коническое сечение с центром в центре сил. Это не будет справедливым для двойных звезд, так как если центр действительной траектории звезды-спутника совпадает с главной звездой, то то же будет и для види.мой траектории.

Таким образом, остается только второй закон, согласно которому сила из.меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Это-закон Ньютона. Согласно этому закону звезда-спутник будет описывать вокруг главной звезды эллипс, в фокусе которого находится главная звезда. Для нахождения действительной траектории спутника необходимо разрешить следующую задачу геометрии.

Зная проекцию эллипса на плоскость и зная, что один из его фокусов находится в определенной точке Е плоскости, определить этот эллипс 8 пространстве.

Задача имеет два решения, симметричных относительно плоскости проекции.

233. Краткие указания по поводу некоторых других задач. Руководствуясь аналогичными идеями, Бертран решил следующую задачу:

Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, алиисит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы на были начальные условия, если только скорость не превосходит некоторого предела, найти закон этой силы.

Бертран доказал (Comptes rendus, т. LXXVH), что единственными законами, у.чоплетворяющими этим условиям, являются

из которых первый не подходит по причинам, указанным выше.

В т. LXXX1V Comptes rendus Бертран решил еще следующую задачу.

Зная, что сила, действующая на точку, зависит только от положения точки и заставляет ее описывать коническое сечение с фокусом в определенной точке S, каковы бы на были начальные условия, найти закон этой силы.

Он доказал, что сила должна обязательно проходить через точку 5 и быть обратно пропорциональной квадрату расстояния. Следовательно, если принять первый закон Кеплера как общий закон и допустить, кроме того.

Если перейти к полярным координатам лг = Гу cos 9, = ri sin 8, то получатся два следующих закона сил:



*) Автор всюду употребляет выражение «центр тяжести» вместо «центр Инерции» или «центр масс». (Примеч. перев.)

что сила, действующая на планету, зависит только от ее положения, то только из этих предположений вытекает закон Ньютона.

В связи с этой работой Бертран поставил следующую задачу:

Зная, что сила, зависящая только от положения точки, заставляет точку при любых начальных условиях описывать коническое сечение, найти закон этой силы.

Эта задача была сведена Альфеном и Дарбу (Comptes Rendus, т. LXXXIV) к частной задаче, решение которой было изложено выше (п. 232). Альфен доказал аналитически, что если сила, зависящая только от положения точки, заставляет точку при всех обстоятельствах описывать плоскую траекторию, то сила является либо центральной, либо параллельной постоянному направлению. Дарбу дал элементарное доказательство этого предложения (примечание, помещенное в «Механике» Депейру).

Наконец Кёнигс (Bulletin de la Societe mathematique, т. XVII) исследовал вопрос о том, какой должна быть центральная сила, зависящая от расстояния, чтобы ее точка приложения описывала при любых начальных условиях алгебраическую кривую. Он пришел к законам -(лг и -[л/г.

III. Элементарные сведения из небесной механики

234. Задача и тел. Мы только что видели, каким путем Ньютон пришел К закону всемирного тяготения. Теперь речь идет о том, чтобы, исходя из этого закона, объяснить движение небесных тел и, в частности, тел, образующих солнечную систему: Солнца, планет, их спутников и комет. При изучении относительных движений этих тел можно совершенно пренебречь действием звезд вследствие огромных расстояний до звезд по сравнению с размерами солнечной системы *).

Двумя основными задачами небесной механики являются следующие: 1) найти движение центров тяжести небесных тел; 2) найти

движения небесных тел вокруг, их *Z „ центров тяжести.

Мы ограничимся здесь некото-

а.---------у? рыми указаниями о первой задаче.

Рассмотрим группу, образованную р планетой Р и ее спутниками Е,

Ъ, .. . (рис. 147). Движение центра тяжести О этой группы будет та-ки.м, как если бы в нем были сосредоточены массы планеты и все.х ее спутников и в него были бы перенесены параллельно самим себе все действующие на группу внешние силы. Пусть М - любая другая точка солнечной системы. Так как ее расстояние от различных точек группы Р, S, . .. очень велико по сравнению с размерами группы, то равнодействующая F сил притяжений, действию которых подвергается точка М со стороны группы, б)дет почти такой, как если бы группа была заменена одной точкой той же массы, помещенной в О; доказывается в теории притяжения. Наоборот, притяжения, которые оказывает точка М на различные точки группы





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [111] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037