Главная Промышленная автоматика.

ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ 343

и. выбрав В t раз меньшую единицу времени, получим для / значение

Примем г= J . Тогда f будет иметь значение 1. Новая единица времени Судет равна 3862 секундам среднего времени; она мало отличае;ся от часа. Липпман предложил называть ее естественным часом (Comptes. rendus, 8 мая 1899).

На основании сказанного естественным часом является единица времени, которую нужно принять для того, чтоэы при произвольной единице длины и при единице массы, равной массе единичного куба воды, для постоянной всемирного тяготения получилось значение /= 1.

231. Двойные звезды. Закон тяготения, открытый Ньютоном, распространяется за пределы солнечной системы. В самом деле, весьма вероятно, что этог закон упр«вляет движением двойных звезд. Вот что показывают наблюдения этих движений. Заметим, прежде всего, что наблюдения непосредственно дают на.м не действительную орбиту звезды-спутника вокруг главной звезды, а проекцию этой орбиты на касательную плоскость к небесной сфере, т. е. на плоскость, проведенную через главную звезду Е перпендикулярно радиусу ТЕ, соединяющему Землю Т с этой звездой. Эта проекция и является видимой орбитой звезды-спутника. Наблюдения показывают, что

1) ви,1имая орбита описывается по закону площадей вокруг главной звезды Е;

-) эта орбита является эллипсом, в котором главная звезда Е заним:1ет произвольное положение, отличное от фокуса.

То обстоятельство, что имеет место закон площадей для проекции движения на плоскость, проведенную через звезду Е перпендикулярно к радиусу ТЕ, соединяющему Землю со звездой, показывает (п. 203), что си.ча, действующая на звезду-спутник, постоянно пересекает прямую ТЕ. Так как это справедливо для всех двойных звезд и так как положение, занимаемое в пространстве Землей, никак не связано с двойными звездами, то естественно допустить, что сила, действующая на звезду-спутник, постоянно пересекюг главную звезду Е. Так как сила центральная, то траектория будет плоско)! и так как ее проекция - эллипс, то она сама является эллипсом. В таком случае .можно попытаться дать себе отчет и в природе силы, вызывающей это движение. Так как на каждую звезду-спутник действует сила, направленная к главной звезде и заставляющая звезду-спутник описывать эллипс, то закон этой силы, очевидно, таков, что движение спутника по коническому сечению, не зависит от того, каковы были начальные условия двикх-ния спутника. Для нахождения этой силы необходимо решить следующу.о задачу.

232. Задача Бертрана. Найти закон центральных сил, зависящих только от положения движущейся точки, и заставляющих ее описывать коническое сечение, каковы бы ни были начальные условия.

Эта задача была поставлена Бертраном в т. LXXXIV Comptes Rendus н разрешена одновременно Дарбу и Альфеном. Дарбу изложил свое решение в примечании в конце «Механики» Депейру. Мы изложи.м решение Альфена с некоторыми изменениями, позволяющими упростить вычисления. Этот метод Альфена основан на составлении дифференциального уравнения конических сечений.

Общее уравнение конического сечения, разрешенное относительно у.

у = ад: + Р + у ад;!! + 26л: -Н с



/ = {ас - 62) (дл:2 2Ьх + с)

Следовательно, величина у" является многочленом второй степени относительно л: и ее третья производная равна нулю. Таким путем получается данное Альфеном дифференциальное уравнение конического сечения:

(/") =0.

Это - уравнение пятого порядка.

Установив это, рассмотрим точку массы 1, находящуюся под действием центральной силы Fy, зависящей только от координат (лг, у) точки приложения относительно двух прямоугольных осей ОуХу, Оу,, имеющих начало в точке Оу, через которую проходит сила. Если время обозначить через ty, то уравнения движения будут

где .

Интеграл площадей имеет вид

dyi „ dxi

Сделаем преобразование *)

х= , j

У\ У\

dt = -

Тогда получим

и положим

х, y = -L (2)

У1 dty 1

dti

a -

dt

Отсюда

d\ dt.

~dF~

dtl dt

yi dt, dt dt,

-F-. (3)

Эти уравнения показывают, что зависимость движения точки (л:, у) от времени t такова же, как материальной точки, находящаяся под действием силы

Y=-Fy, (4)

*) См. А р р е 11, De Ihomographie en Mecanique (Comptes rendus, 4 февраля 1899 и American Journal of Mathematies, т. XII и XIII).

содержит пять произвольных коэффициентов о, р, а, Ь, с. Дифференцируя дважды и обозначая через у, у", ... производные от у по х, найдем



? {X, у)

df , df дх~ ду У •

дх У дхдуУ ду- У ду •

Так как на основании равенств (5) и (6)

У У 2 а- \дхУ ду)

то уравнение f" - О напишется так:

dxs -У дх- ду + "У дх ду- + У ду + /г, <-? дч1

= 0.

Это условие должно выполняться при любых начальных условиях, поэтому оно должно тождественно удовлетворяться, каковы бы ни были х, у, у

ПОСТОЯННО параллельной оси Оу. Эта сила У является функцией от Ху и уу и, следовательно, на основании соотношений (2) - также функцией от х к у. Если точка (xi, yi) описывает коническое сечение, то точка (лг, у) также описывает коническое сечение, являющееся гомографическим преобразованием первого, и наоборот. Таким образом, мы привели задачу к отысканию закона параллельных сил У, заставляющих их точку приложения описывать коническое сечение при любых начальных условиях. Эта задача может быть разрешена следующим образом.

Так как уравнения движения имеют вид

= 0 - = к dt- • dt-

то = а и дифференциальное уравнение траектории будет

где У - функция от х к у. Обозначим через у, у", ... производные от у по X. Выражение (5) для у" должно удовлетворять дифференциальному

( --Г

уравнению \у" / =0 конических сечений, каковы бы ни были начальные условия. Обозначив через (х постоянную, положим

У з=,х \(х, у), y==i[f(x. у)] \ (6)

Тогда [<р (лг, у)]" = 0. Произведя действия, получим:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [110] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037