Главная Промышленная автоматика.


Рис. 24.

AAo Р.

где отношение двух отрезков AA-j и АА2, как обычно принято в геометрии, считается положительным, если отрезки имеют одинаковые направления, и отрицательным, - в противном случае.

В частном случае, когда Pj 4- Рг = 0. эти векторы численно равны и противоположно направлены. Центр этих параллельных векторов не существует. Эти векторы в общем случае образуют пару, если только они не прямо противоположны. Если Pi -)- Pg = О и оба вектора приложены в одной точке, то центр параллельных векторов будет неопределенным.

Формулы (С), определяющие координаты , т], С центра С параллельных связанных векторов, показывают, что центр системы параллельных связанных векторов не зависищ от а, р, f, т. е. от общего направления этих векторов; он зависит исключительно от их точек приложения (х, у, z) и от отношений

их величин Pj, Р2.....Рп- Зависимость точки С только от отнв-

шений величин векторов вытекает из того обстоятельства, что

выражения для , т], С однородны относительно Рр Pg.....Р„,

причем порядок однородности равен нулю. Полученный результат можно сформулировать следующим образом: Еслиизменить общее направление параллельных векторов, связанных с их точками приложения, и одновременно пропорционально изменить их величины, то и результирующий вектор, который им параллелен, изменится в том же отношении, но останется приложенным е центре этих параллельных векторов.

Замечание к случаю, когда 2ft = 0- Если сумма векторов

P = 2Pfc равна нулю, но три суммы 2fc-*fc- РчЧ

не обращаются в нуль одновременно, то центр С параллельных связанных векторов уйдет в бесконечность, так как тогда по крайней мере одна из координат , т\, С становится бесконечной. В этом случае точка С не существует. Если одновременно

2Pfc=o, 2nfc = o, РкУк = о. 2л = о,

то координаты т], С будут неопределенными и, следовательно, центр параллельных связанных векторов будет неопределенным.

Пример. Легко найти, в качестве примера, элементарные свойства двух параллельных векторов, связанных с двумя точкаЖи А- я А, п имеющих алгебраические значения Pi и Рз- Когда Р -\- Pq отлично от нуля,

система имеет результирующий вектор, т. е. эквивалентна одному вектору, имеющему алгебраическое значение Р = = Pi -)- Ра и приложенному в точке Л (центре двух параллельных векторов) (рис. 24), определяемой соотношением

АА, Я,




(рис. 25). Мо-


Рис. 25.

32. Моменты параллельных связанных векторов относительно плоскости. Формулы для координат %, т], С центра параллельных связанных векторов, если их перевести на язык геометрии, приводят к теореме моментов относительно плоскости.

Пусть даны произвольно направленная ось Oz и плоскость П, которую всегда можно принять за плоскость хОу ментом какой-нибудь из параллельных геометрических величин относительно этой плоскости П называется произведение PZ) алгебраического значения указанной величины на координату z ее точки приложения. Это понятие введено Монжем («Курс элементарной статики», Париж, 1786).

Определенный таким образом момент есть величина положительная, отрицательная или равная нулю, значение которой зависит от точки приложения геометрической величины, так что этот момент изменяется,

если указанную величину переносить вдоль ее линии действия. Основное свойство, вытекающее из этого определения, будет следующим:

Если для системы параллельных связанных векторов существует результирующий вектор, то момент результирующего вектора относительно плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих векторов при условии, что этот результирующий вектор приложен в центре параллельных векторов.

Для доказательства предположим сначала, что ось Oz перпендикулярна к плоскости П. Тогда координата z центра параллельных векторов определяется формулой

где Р = Рч- Но эта формула как раз и выражает доказываемую теорему.

Если ось Oz наклонена к плоскости П, то можно взять вспомогательную ось Oz, нормальную к плоскости и образующую с осью Oz угол а. Обозначим через z[, z.....2:, С координаты z точек приложения, отсчитываемые параллельно этой новой оси, т. е. нормально к плоскости. По предыдущему имеем:

Но координаты 2 и 2 связаны очевидными соотношениями

- 2j COS а.

= cos a.

C = Ccosa,



что после подстановки и приводит к искомому соотношению

Таким образом, теорема моментов доказана в общем виде.

Прилагая эту теорему к трем плоскостям косоугольной системы координат, мы получим для определения координат , т), С центра параллельных векторов в косоугольной системе те же формулы, что и в системе прямоугольной.

Примечание I. Теорема моментов относительно плоскости tnpa-ведлива лишь в том случае, когда 0.

Если 2Pfc = 0. то теорема не справедлива, так как результирующий вектор обращается в нуль, и центр параллельных векторов уходит в бесконечность. Исключение будет в еще более частном случае, когда векторы находятся в астатическом равновесии:

Р = 0,

В этом случае координаты £, т], С неопределенны и теорема применима.

Примечание П. В частном случае, когда все векторы направлены в одну сторону, центр параллельных векторов лежит внутри любой выпуклой поверхности, окружающей точки приложения составляющих. В самом деле,

примем направление заданных векторов Ру, Р2,..., Рп за положительное, касательную плоскость П к поверхности - за плоскость ху и в качестве оси Ог - перпендикуляр к этой поверхности, направленный в ту же сторону, что и поверхность (рис. 26).

Тогда координаты г всех точек приложения векторов будут положительными, и равенство


Рис. 26.

Ркк 2

показывает, что и координата также положительная. Таким образом, центр по отношению к произвольной каса-что и поверхность и, следовательно.

параллельных векторов расположен тельной плоскости по ту же сторону находится внутри ее.

33. Векторные производные. Пусть ОМ (рис. 27) - связанный вектор, приложенный в фиксированной точке О. Допустим, что этот вектор зависит от некоторой переменной и таким образом, что если и изменяется непрерывно, то и конец М перемещается также непрерывным образом. Можно тогда говорить, что этот вектор есть непрерывная функция переменной и. Пусть ОМ и ОМ- - векторы, соответствующие значениям и и м + Дм переменной, причем Да предполагается положительной. Соответствующее геометрическое приращение вектора есть геометрическая разность {0М{) - (ОМ),





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [11] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0041