Главная Промышленная автоматика.

что уже было установлено ранее, и

и, наконец, подставляя сюда значение р, получим

Это выражение определяет вид конического сечения, который зависит только от знака постоянной Л кинетической энергии.

Если Л отрицательно, то траектория есть эллипс, так как е < 1. Если h равно нулю или положительно, то траектория - парабола или гипербола. Значение постоянной h кинетической энергии равно

Оно зависит только от численного значения начальной скорости, но не от ее направления. Следовательно, если при определенных начальных условиях траектория есть эллипс, то она останется эллипсом, если движущуюся точку бросить из того же положения и с той же скоростью, но в любом другом направлении.

Вычисления, которые мы произвели, содержат неявно и случай отталкивания. Для исследования этого случая достаточно во всех формулах считать [л отрицательным. При этом условии постоянная h булет обязательно положительной и всегда будет получаться ветвь гиперболы. Эта ветвь гиперболы обращена своей выпуклостью к началу, так как сила направлена в сторону вогнутости траектории.

Уравнение траектории принимает вид

7=-ТГ + / -fr+cosce-a).

где корень можно всегда предполагать положительным, так как, если бы он был отрицательным, то, прибавляя tz к произвольной постоянной а, мы сделаем его положительным. Получилось уравнение конического сечения, имеющего фокус в полюсе. Действительно, известно, что общее уравнение конических сечений с полюсом в фокусе есть

-=-4-- cos (9 -а),

где р - параметр, а е - эксцентриситет. Сравнивая два последних уравнения, найдем



1 +-

откуда

или, вводя полуоси эллипса,

" 0= )~ а-

Это последнее соотношение определяет большую ось эллипса, которая зависит только от постоянной уравнения кинетической энергии. После этого малая ось определится формулой

а fi.

Вычислив таким образом большую полуось о, можно легко построить эллипс, зная начальное положение Mq и начальную скорость Vq. Для этого нужно взять точку Р, симметричную фокусу относительно касательной Vq, соединить точку Р с точкой Mq и отложить на прямой PAJq длину PMqO - 2а; точка О будет вторым фокусом эллипса.

228. Кометы. Кеплер не изучал движения комет, считая их мимолетными метеорами. Ньютон, заметив, что материальная точка, притягиваемая Солнцем обратно пропорционально квадрату расстояния, может описывать не только эллипс, но и параболу, и ветвь гиперболы с фокусом в Солнце, пришел к мысли, что кометы, так же как и планеты, описывают эллипсы, в фокусе которых находится Солнце. Он только предположил, что в то время как планеты описывают лежащие почти в одной плоскости эллипсы с малыми эксцентриситетами кометы описывают очень вытянутые эллипсы, лежащие в произвольных плоскостях. Они появляются у нас редко потому, что мы их видим только на части траектории, наиболее близкой к Солнцу. Так как большая ось орбиты кометы очень велика, то эта близкая к Солнцу часть орбиты почти такая же, как если бы большая ось была бесконечной, т. е. эллипс был бы параболой с теми же фокусом и вершиной. Ньютон пришел таким образом к мысли, что вблизи Солнца комета должна описывать по закону площадей дугу параболы с фокусом в Солнце. Ему представился случай проверить эти догадки на комете, появившейся в 1680 г. Галлей, современник Ньютона, произвел такую же проверку на двадцати четырех кометах. Все последующие наблюдения также подтвердили взгляды Ньютона.

Займемся случаем эллипса, полагая й < О, и выразим элементы траектории через начальные значения переменных. Мы нашли



р г2 •

где р - параметр дуги параболы. Для другой кометы, с массой т, мы точно так же получим силу

/=" = -

Наблюдения показывают, что отношения <У1р и Clp равны между собой и имеют общее значение, равное величине -у- лля какой-нибудь планеты. Следовательно, выражение центральной сильк, действующей на комету, так же, как и для планет, будет

F = -

Г2 •

где коэффициент (а имеет одно и то же значение для всех комет и для всех планет.

Мы приходим таким образом к результату, что Солнце притягивает произвольную точку массы т, находящуюся на расстоянии г

от центра, с силой, равной по абсолютной величине где ;а - коэф-

фициент притяжения, присущий Солнцу и представляющий притяжение Солнцем материальной точки с массой, равной единице, находящейся на единичном расстоянии от центра.

229. Спутники. Наблюдения показывают, что спутники в своих движениях вокруг планет следуют очень близко законам Кеплера. Отсюда вытекает, что каждая планета притягивает своих спутников с силой, пропорциональной их массе и обратно пропорциональной квадрату их расстояний до центра планеты. Притяжение планет действует также и на тела, лежащие на их поверхности. Оно, как .мы видели в главе III, приводит к понятию о силе тяжести. С каждой планетой связан некоторый коэффициент притяжения X таким образом, что притяжение этой планетой точки массы гПу, помещенной

на расстоянии г, от центра, равно . Этот коэффициент X из-

меняется при переходе от одной планеты к другой.

Таким образом, именно притяжение Земли, которому подвергаются тела, находящиеся на ее поверхности, заставляет их падать вертикально, когда они отпущены без начальной скорости, или описывать дугу параболы, когда они брошены под углом. Эта парабола является не чем пным, как частью очень вытянутого эллипса, фокус которого находится в центре Земли. Это вытекает из того, что

Вообразим комету массы т, описывающую по закону площ1дей дугу параболы с фокусом в центре Солнца. Эта комета будет находиться под действием силы, направленной к Солнцу, выражение которой, как мы показали выше, имеет вид

тС1 1





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [108] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.004