Главная Промышленная автоматика.

значение силы. Тогда на основании равенства (6)

i l L

По условию известно уравнение траектории /(л, б) = 0, которое определяет у в функции 9: у = <р (9). Следовательно, получаем

F=.-[cp(8) + cp(9)l.

Если на характер силы F заранее не налагается никаких ограничений, то задача представляет неопределенность, так как л и 9 связаны заданным уравнением, вследствие чего можно преобразовать бесчисленным множеством способов выражение для F. Можно, и это обычно требуется, выразить F в функции одного только г, для чего нужно исключить 9 из предыдущего уравнения и из уравнения траектории.

Примеры. 1°. Рассмотрим случай конического сечения, описываемого по закону площадей относительно фокуса и обращенного к этому фокусу вогнутостью. Приняв фокус за полюс, имеем уравнение конического сечения

\-\-eco9b

где р-параметр и е - эксцентриситет. Отсюда находим

Г 62 р

тСГ-

Следовательно, сила является притягивающей, изменяющейся обратно пропорчивнально квадрату расстояния.

2*. Если ту же задачу рассматривать для ветви гиперболы, обращенной выпуклостью к фокусу, так что ее уравнение имеет вид

1 е cos в - 1

pr-i

Таким образом, для силы получается тот же закон, но она будет отталкивающей.

3°. Большинство встречающихся в подобных задачах кривых заключено в уравнении

Г" = а cos k9 -f- b,

где a, b, k - постоянные. Если предположить, что эти кривые описываются по закону площадей относительно начала, то для силы, выраженной



F = - 0-

fiK + i 1 /-« + 3

(Частные случаи: при ,k = -1 имеем конические сечения с фокусом в полюсе; при k = -2 имеем конические сечения с фокусом в центре; при k - 1 имеем улитку Паскаля; при k = 2, ft = О имеем лемнискату, ...)

И. Движение планет

226. Следствия из законов Кеплера. Во всем последующем изложении речь будет идти только о движении центра тяжести планет. Согласно теореме, которую мы докажем впоследствии, центр тяжести движется, как точка, в которой сосредоточена вся масса планеты и в которую перенесены параллельно самим себе все приложенные к планете силы.

Законы движения планет выведены Кеплером из наблюдений Тихо Браге. Эти законы следующие:

l"". Планеты описывают вокруг Солнца плоские кривые по закону площадей;

2°. Эти кривые являются эллипсами с фокусом в Солнце;

3°. Квадраты звездных времен обращения планет пропорциональны кубам больших осей их орбит.

Из этих законов Ньютон вывел закон для силы, вызывающей эти движения.

Так как траектория плоская и имеет место закон площадей относительно центра Солнца, то сила является центральной, проходящей через эту точку. Так как траектория является эллипсом с фокусом в Солнце, то сила, действующая на планету, обратно пропорциональна квадрату расстояния от планеты до Солнца. Для этой силы мы получили выражение («ервый пример предыдущего пункта)

Р та-

- рг-

где С - постоянная площадей, а р - параметр конического сечения. Полагая а = -, можно написать

г-

Последний закон Кеплера показывает, что \i не зависит от рассматриваемой планеты. В самом деле, постоянная площадей С равна удвоенному отнощению площади, описанной радиусом-вектором, к затраченному на это времени; если Т-продолжительность обращения, то радиус-вектор описывает за время Т площадь Tzab; следовательно,

2паЬ

- 7 *

Так как р равно -, то для \>. получаем выражение

в функции г, получится



По закону, о котором мы говорили, отношение -j будет одинаковым для всех планет; поэтому сила для любой планеты будет

m(i.

Итак, каждая планета притягивается к центру Солнца силой, пропорциональной массе планеты и обратно пропорциональной квадрату расстояния от планеты до Солнца.

227. Прямая задача. После установления этого результата Ньютон обратился к следующей задаче.

Найти движение материальной точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Центральная сила выражается формулой

По закону кинетической энергии имеем

Но по теории центральных сил [формула (4)]

г/2 = С2

Подставляя это значение в предыдущее равенство, получим

/ 1 \2 d- г

db j

Это - дифференциальное уравнение траектории; его можно представить так:

/ . 1 \*

Положим

d- г

- \r с) а-

1 (i TiAt* i л

Тогда уравнение для р будет • dp \2

± df

откуда, интегрируя, найдем

6 - а = ± arc cos р,

p = cos(e - а).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 [107] 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.004