Главная Промышленная автоматика.

Посмотрим теперь, какие начальные условия нужно сообщить точке, чтобы осуществить это круговое движение. Необходимо, чтобы начальная скорость была перпендикулярна радиусу-вектору,

т. е. чтобы 1()о = ± у, откуда С=± TqVq, и чтобы -{-О,

откуда, заменяя С его значением, найдем

Это значение будет вещественным только тогда, когда Fq отрицательно, т. е. когда сила - притягивающая.

Пример. Наиболее важными приложениями предыдущей теории являются случаи, когда сила пропорциональна расстоянию и когда сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. Второй случай будет подробно рассмотрен в теории движения планет; займемся здесь первым случаем и рассмотрим сначала точку, притягиваемую точкой О (рис. 145) с силой, пропорциональной расстоянию;

F = - mkr, v" = - k-r + h.

Вышеизложенные общие методы позволяют найти уравнение траектории и время. Но проще исходить из уравнений движения


еР-х

= - k->x.

dy dfl

= - k-iy,

Рис. 145.

которые будут такими же и в косоугольных координатах. Общие интегралы этих линейных уравнений с постоянными коэффициентами будут

/ >

Х(. Уо

х = Хо COS kt -j- -г- sin kt, у = Уо со? kt -\- -г- sin kt, k к

где xq, уо - проекции на оси координат скорости движущейся точки в момент t = Q (п. 211). Если, в частности, принять за ось Ох начальный радиус вектор, а за ось Оу прямую, параллельную начальной скорости, то получим

ХйГо, Уо = 1о. Уо = 4 = 0-

x = Гц COS kt, у =

sin kt.

откуда для траектории находим уравнение

2 Т ,

о

являющееся уравнением эллипса, отнесенного к двум сопряженным диаметрам 2а и 2Ь, где длины а = Гц и Ь = ~. Продолжительность обра-

щения по эллипсу равна Так как за начальный момент времени может

быть принят произвольный момент, то мы видим, что скорость точки в произвольном положении равна kb, где Ь - длина полудиаметра, параллельного скорости, т. е. сопряженного радиусу-вектору.



дгго-2-. У = -,-2-

Х2 2у2

с центром в точке О. Скорость в какой-нибудь точке будет по-прежнему равна произведению k на длину полудиаметра, параллельного скорости.

224. Сила вида г"9(б). Якоби показал, что можно привести задачу к квадратурам в случае, когда центральная сила выражается формулой вида F = г-2 ср (6), т. е. когда сила является однородной функцией декартовых координат х, у с показателем однородности -2, В этом случае из формулы

Р тС г2

£f2

i i L

получаем для определения траектории уравнение

г .\ 9(8)

которое является линейным с постоянными коэффициентами и. со второй частью. Общий интеграл этого уравнения имеет вид

= Л cos б -I- sin 9 -4- ф (б).

где А и В - произвольные постоянные, а ф(б) - частный интеграл уравнения, который всегда может быть найден при помощи квадратур.

Пусть, например,/= = -/и(1Г-2 (cos 26) , где [л - вещественная положительная Или отрицательная постоянная. В этом случае дифференциальное уравнение будет

- + 7 =-ft (cos 26) его общий интеграл имеет вид

-i- = Л cos « -l о в ]

или, в декартовых координатах

-i- = Л cos 8 -f- В sin в -->cos 26 ,

(1 ЛДГ-Ву)=-(Дс2 у2).

Если движущаяся точка отталкивается центром О пропорционально расстоянию, F = mk-r, то получатся уравнения движения, которые могут быть выведены из предыдущих заменой k коэффициентом k Y-\. Следовательно, выбран оси, как и выше, получим

gkt g-kt щ gkt - g-kt

Траектория будет гиперболой



Это - уравнение конического сечения, касающегося двух прямых ОР и 0Q (рис. 146). Уравнение прямых имеет вид х -у2 = 0. Эти жрямые касаются сечения в точках, где они пересекаются с прямой 1 - Ах - By- О, которая изменяется вместе с начальными условиями. Начальное положение движущейся точки лежит обязательно 1ли в углу POQ, или в углу, противоположном ему относительно верщины, так как вне этих углов вырджение F ком- У\ плексно. Допустим для определенности, что кривая является эллипсом,. Если [л положительно, то траектория состоит из части дуги QAIP, так как она должна быть обращена вогнутостью к точке О; когда движущаяся точка приходит в одно из положений Р или Q, то сила обращается в бесконечность, и задача теряет смысл. Если t отрицательно, то движущаяся точка описывает часть дуги QNP.

Время может быть определено из уравнения площадей

в котором /-2 следует заменить его значением в функции 6. Если постоянные А к В специальным образом не подобраны, то получающийся интеграл будет эллиптическим.

Примечание. Точно так же приводится к квадратурам и более общая задача, когда выражение силы имеет вид

/==г-2?(в>4-/Ь,-з,

где k - постоянная. При этом по-прежнему придется интегрировать линейное относительно 1/г уравнение с постоянными коэффициентами и со второй частью.

; /

Рис. 146.

225. Обратная задача. Определение центральной силы, когда задана траектория. Поставим себе следующую задачу.

Точка описывает плоскую траекторию по закону площадей относительно некоторого неподвижного центра. Найти силу, вызывающую это движение.

Прежде всего, эта сила - центральная. В самом деле, примем неподвижную точку за начало; тогда по закону площадей имеем уравнение

X- у -ь.

откуда, дифференцируя, получим

Это уравнение показывает, что ускорение, а следовательно, и сила все время проходят через начало. Пусть F - алгебраическое





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [106] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038