Главная Промышленная автоматика.

Tq - угол между начальной скоростью MqVq и продолжением ОМ (рис. 144). Имеем

Ро = Ло sin 1()о,

и поэтому абсолютное значение постоянной площадей будет

С = rgVo sin 7]о.

Если условиться считать угол т) положительным от продолжения ЖдО радиуса-вектора в сторону положительных вращений, то это равенство будет справедливо и по знаку, так как и Vq считаются положительными, и знак постоянной С совпадает со знаком sin tjq. Эта

постоянная С может обратиться в нуль только тогда, когда нулю равен один из множителей г, vy или simjo. В последнем случае движение будет происходить по радиусу-вектору.

Применим теперь теорему кинетической энергии. Получим

Рис. 144.

-=Fdr.

Уравнения (1) и (2) вполне определяют движение. Они служат для нахождения г и 6 в функции времени. Скорость имеет выражение

При помощи равенства (1) из этого выражения можно исключить d9 или dt, после чего получаем:

U2 = C2

+(!)

если заменить j через j

Наиболее простой случай будет тогда, когда сила зависит только от расстояния г. Тогда задача приведется к квадратурам, так как F dr будет полным дифференциалом и из уравнения (2) получим в функции г; подставляя это значение г>2 в уравнения (3) и (4), найдем t и б при помощи квадратур.

Вернемся к общему случаю. Мы можем получить еще два важных уравнения, заменяя v- его значениями (3) и (4) в уравнении кинети-



ческой энергии. Взяв сначала равенство (3) и написав уравнение кинетической энергии в виде

\ dmfl

2 dt

мы получим

выполнив дифференцирование и разделив на

,dr .

dr dt

найдем

\dti ri)

что мы представим в виде

Это уравнение определяет относительное движение точки по радиусу-вектору. Оно показывает, что движение происходит так, как если бы радиус-вектор бил неподвижен, а сила, действующая на точку, била увеличена на тС/г. Это же уравнение определяет г в функции t, когда F зависит только от г или от л и /.

Используем теперь для подстановки в уравнение кинетической энергии выражение (4). Написав уравнение кинетической энергии в

1 dmv rdr виде -гг -5- ~Рж получим

2 db

Выполним дифференцирование и заменим производную

\ dr dr

dl r

ее зна-

разделив затем на установленную Вине:

чешем --аь

мулу.

F = -


МЫ получим следующую фор-

Это уравнение может служить для определения г в функции 9, т. е. для нахождения уравнения траектории, если F зависит только от г или же и от л и от 9. Знаки обеих частей уравнения (6) показывают, что сила всегда направлена в сторону вогнутости траектории; в самом

деле, как известно, величина

отрицательна или поло-

жительна в зависимости от того, будет или не будет траектория обращена к полюсу своей выпуклостью. Если в каком-нибудь положении движущейся точки сила равна нулю, то в этом положении траектория имеет точку перегиба.



Следовательно, t определяется простой квадратурой. После этого легко найдется уравнение траектории; в самом деле, из уравнения (1) имеем

и для нахождения 6 надо выполнить квадратуру.

Теперь нужно определить знак, который следует брать перед корнем. Он определяется следующими условиями. Известно, что

проекция скорости на радиус-вектор равна ; знание начальной

скорости позволяет знать знак величины , вначале надо бра!ь

перед корнем этот знак и сохранять его до тех пор, пока -с (г) не обратится в нуль, а затем определится и знак, который нужно будет взять впоследствии. Никакой трудности не возникает, когда С(го) равно нулю, т. е. когда начальная скорость перпендикулярна радиусу-вектору. Тогда рассмотрим уравнение движения по радиусу-вектору; начальная скорость - этого движения равна нулю, и это движение будет происходить так, как если бы радиус-вектор был неподвижен, а сила была равна /Ч--; если эта вoqб"paжaeмaя сила

вначале положительна, то г будет вначале возрастать и нужно брать знак плюс; если она отрицательна, то г будет сначала уменьшаться

и нужно брать знак минус. Допустим, наконец, что Fq-\--- = 0.

В этом случае для наблюдателя, связанного с радиусом-вектором, точка остается неподвижной, так как она движется по радиусу-вектору так, как если бы он был неподвижен, а точка предоставлена самой себе в положении, в котором воображаемая сила равна нулю. Траектория будет окружностью радиуса Го, и в силу закона площадей движение будет равномерным.

223. Сила есть функция только расстояния. Исследуем полнее важный случай, когда

СО-Уравнение (2) интегрируется сразу, и мы получаем

Чтобы найти зависимость между г и t, заменим его значением (3) и мы получим уравнение вида





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 [105] 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0047