Tq - угол между начальной скоростью MqVq и продолжением ОМ (рис. 144). Имеем

Ро = Ло sin 1()о,

и поэтому абсолютное значение постоянной площадей будет

С = rgVo sin 7]о.

Если условиться считать угол т) положительным от продолжения ЖдО радиуса-вектора в сторону положительных вращений, то это равенство будет справедливо и по знаку, так как и Vq считаются положительными, и знак постоянной С совпадает со знаком sin tjq. Эта

постоянная С может обратиться в нуль только тогда, когда нулю равен один из множителей г, vy или simjo. В последнем случае движение будет происходить по радиусу-вектору.

Применим теперь теорему кинетической энергии. Получим

Рис. 144.

-=Fdr.

Уравнения (1) и (2) вполне определяют движение. Они служат для нахождения г и 6 в функции времени. Скорость имеет выражение

При помощи равенства (1) из этого выражения можно исключить d9 или dt, после чего получаем:

U2 = C2

+(!)

если заменить j через j

Наиболее простой случай будет тогда, когда сила зависит только от расстояния г. Тогда задача приведется к квадратурам, так как F dr будет полным дифференциалом и из уравнения (2) получим в функции г; подставляя это значение г>2 в уравнения (3) и (4), найдем t и б при помощи квадратур.

Вернемся к общему случаю. Мы можем получить еще два важных уравнения, заменяя v- его значениями (3) и (4) в уравнении кинети-

ческой энергии. Взяв сначала равенство (3) и написав уравнение кинетической энергии в виде

\ dmfl

2 dt

мы получим

выполнив дифференцирование и разделив на

,dr .

dr dt

найдем

\dti ri)

что мы представим в виде

Это уравнение определяет относительное движение точки по радиусу-вектору. Оно показывает, что движение происходит так, как если бы радиус-вектор бил неподвижен, а сила, действующая на точку, била увеличена на тС/г. Это же уравнение определяет г в функции t, когда F зависит только от г или от л и /.

Используем теперь для подстановки в уравнение кинетической энергии выражение (4). Написав уравнение кинетической энергии в

1 dmv rdr виде -гг -5- ~Рж получим

2 db

Выполним дифференцирование и заменим производную

\ dr dr

dl r

ее зна-

разделив затем на установленную Вине:

чешем --аь

мулу.

F = -

МЫ получим следующую фор-

Это уравнение может служить для определения г в функции 9, т. е. для нахождения уравнения траектории, если F зависит только от г или же и от л и от 9. Знаки обеих частей уравнения (6) показывают, что сила всегда направлена в сторону вогнутости траектории; в самом

деле, как известно, величина

отрицательна или поло-

жительна в зависимости от того, будет или не будет траектория обращена к полюсу своей выпуклостью. Если в каком-нибудь положении движущейся точки сила равна нулю, то в этом положении траектория имеет точку перегиба.

Следовательно, t определяется простой квадратурой. После этого легко найдется уравнение траектории; в самом деле, из уравнения (1) имеем

и для нахождения 6 надо выполнить квадратуру.

Теперь нужно определить знак, который следует брать перед корнем. Он определяется следующими условиями. Известно, что

проекция скорости на радиус-вектор равна ; знание начальной

скорости позволяет знать знак величины , вначале надо бра!ь

перед корнем этот знак и сохранять его до тех пор, пока -с (г) не обратится в нуль, а затем определится и знак, который нужно будет взять впоследствии. Никакой трудности не возникает, когда С(го) равно нулю, т. е. когда начальная скорость перпендикулярна радиусу-вектору. Тогда рассмотрим уравнение движения по радиусу-вектору; начальная скорость - этого движения равна нулю, и это движение будет происходить так, как если бы радиус-вектор был неподвижен, а сила была равна /Ч--; если эта вoqб"paжaeмaя сила

вначале положительна, то г будет вначале возрастать и нужно брать знак плюс; если она отрицательна, то г будет сначала уменьшаться

и нужно брать знак минус. Допустим, наконец, что Fq-\--- = 0.

В этом случае для наблюдателя, связанного с радиусом-вектором, точка остается неподвижной, так как она движется по радиусу-вектору так, как если бы он был неподвижен, а точка предоставлена самой себе в положении, в котором воображаемая сила равна нулю. Траектория будет окружностью радиуса Го, и в силу закона площадей движение будет равномерным.

223. Сила есть функция только расстояния. Исследуем полнее важный случай, когда

СО-Уравнение (2) интегрируется сразу, и мы получаем

Чтобы найти зависимость между г и t, заменим его значением (3) и мы получим уравнение вида