Главная Промышленная автоматика.

dT + Xdx + Ydy + Zd2 = 0,

из которых первое имеет место, когда вдоль всей нити момент силы относительно оси Oz равен нулю (п. 131).

д) Аналогичные теоремы можно вывести и для равновесия нити на поверхности, если сравнивать с движением точки по поверхности. (См. Мёбиус, Statique, часть вторая, глава Vll и Поль Серре, Theorie des lignes а double courbure, Mallet-Bachelier, 1860.)

22. Если несколько масс m, т, т", находящихся соответственно

под действием сил F, F, F"..... зависящих только от координат, выходят

из одной и той же точки А с одинаковыми по направлению, но разными по величине скоростями w, v, ... и описывают одну и ту же кривую АВС, то произвольная масса М, находящаяся под действием равнодействующей сил пр, aF, a"F", где а, а, а", ... -Положительные или отрицательные постоянные, и выходящая из точки А со скоростью Vq, имеющей то же направление, что и v, v, опишет ту же самую кривую, если только начальная кинетическая энергия массы М определяется формулой

MVq = amVQ -j- а т Vq -\- а т Vq

(Бонне, Примечание ко второму тому «Аналитической механики» Лагранжа.) Эта теорема доказывается при помощи естественных уравнений движения.

23. Если равнодействующая F сил, приложенных к свободной точке, принадлежит неподвижному линейному комплексу, то момент количества движения относительно этого комплекса постоянен.

которое показывает, что Vy равно нулю или корню уравнения 1-<f{v) = 0-Исследование завершается при помощи формул стр. 528 (Морен).

21. Аналогия между равновесием нити и движением точки. Эта аналогия получается непосредственно из сравнения естественных уравнений равновесия нити (п. 136) с уравнениями двиисения точки. Таким путем получаются следующие теоремы.

а) Если каждый элемент нити находится в равновесии под действием силы Fds и если натяжение равно Т, то материальная точка массы т, описывающая кривую, образованную нитью, со скоростью v, равной кТ в каждой точке {k - постоянная), находится под действием силы Ф, направленной противоположно силе F и равной по величине mk FT или mk Fv. Можно, наоборот, перейти от движения точки к равновесию нити. Для этого достаточно

положить Т = -и силу F равной численно и направленной противо-

положно силе Ф.

б) Материальная точка, находящаяся под действием вертикальной силы, направленной вверх и пропорциональной скорости, описывает цепную линию.

в) Нить, у которой каждый элемент ds находится под действием силы,

, „ „ , k ds

обратно пропорциональной ее натяжению F ds = у, , принимает форму

параболы. (Можно также говорить, что эта сила Fds изменяется пропорционально горизонтальной проекции ds, так как Т~ = С.

г) Если уравнения равновесия нити преобразовать так, как при получении законов площадей (п. 203) и кинетической энергии (п. 205), то получатся теоремы, выражаемые уравнениями



Ответ. По предположению, существуют постоянные а, Ь, с, р, q, г

такие, что

pX + qY-}-rZ-\-a(yZ - zY)-\-b{zX - xZ)-c{xY - yX)Q. Заменяя X, У, Z через тх", ту", тг" и интегрируя, получим рх + qy -\- гг +а (уг - гу) + * (гх - хг) + с (ху - ух) = const,

что и выражает подлежащее доказательству свойство.

24. Найти движение наэлектризованной частицы, находящейся под действием неподвижной электрической массы, помещенной в точке О, и единственного неподвижного магнитного полюса, также находящегося в точке О.

Ответ. Точка описывает иа круговом конусе с вершиной в точке О траекторию, которая при развертывании конуса переходит в коническое ссчеиие с фокусом в точке О; движение подчинено закону площадей. (См. Аппель, Annaes scientificos da Academia Polytechnica do Porto, т. IV, 1909.)



ГЛАВА XI

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ I. Центральные силы

222. Уравнения движения. Сила называется центральной, если ее направление все время проходит через неподвижную точку. Эта точка называется центром силы. Примем центр силы за начало координат и условимся обозначать через F абсолютное значение силы, взятое со знаком + или - в зависимости от того, будет ли сила отталкивающей или притягивающей. Мы видели ранее (п. 203), что в случае действия центральной силы траектория точки является плоской кривой, плоскость которой проходит через центр силы. Эта плоскость определяется начальным положением и начальной скоростью дижyueйcя точки. Если начальная скорость направлена по радиусу-вектору, то плоскость эта становится неопределенной, но тогда движение будет прямолинейным и будет происходить по радиусу-вектору.

Возьмем плоскость траектории за плоскость ху. Тогда проекции

силы, согласно принятому условию относительно знака F, будут Fy

и у • Мы можем воспользоваться общими уравнениями плоского

движения; однако проще исходить из уравнений, получаемых по закону площадей и по теореме кинетической энергии. Интеграл площадей

dt dt

если пользоваться полярными координатами, может быть написан следующим образом:

.f=c. (1,

Мы видим, что С есть момент начальной скорости относительно оси Ог. Пусть - начальная скорость и - расстояние до нее от начала. Тогда абсолютное значение постоянной С равно PqVq, при этом нужно взять знак -- или - в зависимости от того, будет ли пюисходнть движение в сторону положительного или отрицательного вращения вокруг оси Oz. Пусть/-ц, б, - координаты точки УНд,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 [104] 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.005