Главная Промышленная автоматика.

{Ах + By -t- Сг + Dp г ли

(Ллг2 + 2Вху + Су + 2Dx + 2Еу +

где (1, А, В, С, D, Е, F-постоянные.

Ответ. Траектории - конические сечения, каковы бы ни были начальные условия.

11. Найти движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде при законе сопротивления R, определяемом формулой

/? = mg (Л -4- В In V),

где А и В - постоянные.

Этот закон можно рассматривать как предельный случай принятого в тексте закона

R=mg(a-\-

В В

Для этого достаточно полои<ить а~ А--, Ь = - и заставить п стре-

миться к нулю.

12. Завершить вычисления в тексте п. 219, полагая п - \ и д «= i.

Можно выполнить все квадратуры.

13. Тяжелая точка движется в сопротивляющейся среде. Доказать, что если R обозначает сопротивление, то между ординатой у и абсциссой х точки траектории существует соотношение

(Ру 2gR dx V* cos3 а

где V - скорость на - угол между касательной и горизонталью Ох.

В частности, если сопротивление пропорционально V*, то дифференциальное уравнение траектории будет

dx соъ а

(Де Спарр, Comptes Rendus, 23 и 30 мая 1892 и Memorial de IArtillerie de la Marine, 1892.)

14. Найти движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде пря сопротивлении, пропорциональном кубу скорости.

Эта задача может быть разрешена в эллиптических функциях. (См. Аппель и Лякур, Principes de la theorie des fonctions elliptique, стр. 225; CM. также две статьи де Спарр а. Bulletin de la Societe mathema-tique, 1900 и 1901.)

нуля пределу, когда v стремится к нулю, то точка останавливается, если п меньше единицы, и продолжает неограниченно двигаться со стремящейся к нулю скоростью, когда п равно или больше 1; в этом втором случае путь, пройденный точкой, будет конечным, если п меньше 2, и бесконечным при п, равном или большем 2.

9. Найти движение точки, притягиваемой плоскостью пропорционально расстоянию.

10. Определить движение точки, находящейся под действием силы, параллельной оси Ог и имеющей выражение

Z=- --------



а вторая определяет t .в функции г. (Лекорню, Comptes Rendus, т. CI, стр. 1244; Journal de IEcole poiytechnique, вып. LV.)

17. В более общей постановке, если

ду дх дх ду

где а и b - постоянные, интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам.

Ответ. Этот случай приводится к предыдущему при помощи подстановки

XVbX, YVy. х==УЬх, y==Y~ay.

18. Точка движется в пространстве под действием силы, составляющие которой X, Y, Z являются функциями от X, у, г, удовлетворяющими соотношениям

- = =- = = = = ?!£ дх ду дг ду дг дх дг дх ду

Доказать, что интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам.

Ответ. Обозначая через а и комплексные кубические корни из единицы и полагая

Х + У + г = р, X + ау аг = q, х + ау + аг = г, X+Y + Z=F, X + ay+aiZ=:Q, X+aY+aZ=R.

15. Точка движется в плоскости хОу под действием силы с составляющими

ду dx

где и - функция от дс . и у. Доказать, что уравнения движения имеют первый интеграл

dxdy ,j , ,

16. Точка движется в плоскости хОу под действием силы, составляющие которой X я Y являются функциями от X и у, удовлетворяющими условиям

дХ дУ

ду дх дх ду

Доказать, что интегрирование уравнений движения может быть выполнено в квадратурах.

Ответ. В этом случае величина X-{-tY является функцией ср(г) комплексной переменной г = х 1у. Оба уравнения движения можно свести в одно

и интегрирование приводится к двум последовательным квадратурам, кз которых первая



cos а

w cos а = Ко COS ае °» ,

которое показывает, что о cos а стремится к нулю, когда а стремится к - -2 ; разрешая его относительно », получим выражение, принимающее

вид-5- при а =-у. При помощи обычных методов, обозначая через предел скорости v, выводим условие

fl[l-?(fi)]=0..

найд€м> что Р есть, функция только от р, Q - только от q и только от z. Тогда уравнения движения эквиваленты трем следующим:

flPp dq d4 „

"2= "4f= Ш

каждое йз которых интегрируется в квадратурах. Пример:

Х = х + 2уг, Г=гЗ + 2д:у, Z = y--\-2zx.

(Comptes Rendus, 19 марта 1877.)

19. Если дана материальная точка, находящаяся под действием силы, зависящей только от положения, то интегралы дифференциальных уравнений движения остаются вещественными при замене t значением t У-1 и проекций Хд, Уд, zq начальной скорости значениями -xY-, - Уо • - zq Y-1 • Полученные таким образом новые выражения являются уравнениями нового движения, которое будет совершать та же самая материальная точка, если при тех же начальных условиях на нее будет действовать сила, равная и противоположная той, которая вызвала первое движение. (Comptes tendus, 30 декабря 1878.)

20. Тяжелая материальная точка движется в сопротивля1ощейся среде, сопротивление R которой является функцией скорости v и предполагается направленным в сторону, противоположную скорости v: R = mg<f (о). Допустим, кроме того, что функция <р (v) непрерывна, положительна и возрастает вместе с V. Доказать следующие общие предложения:

1°. Если 9(0) > 1, то точка за конечный промежуток времени описывает конечную дугу траектории, заканчивающуюся в точке, где касательная вертикальна и куда движущаяся точка приходит со скоростью, равной нулю. После этого движущаяся точка остается в покое, так как если она будет стремиться начать движение, то возникающее сопротивление будет больше веса. (Этот случай может, например, представиться при движении с трением тяжелой точки по наклонной плоскости.)

2°. Если 9 (0) < 1 (случай артиллерийских. снарядов), то движущаяся точка будет описывать кривую с бесконечной ветвью, обладающ]ей вертикальной асимптотой; скорость точки стремится к пределу X, равному корню уравнения 1 - 9 (») = О, которое, очевидно, на основании предположений, сделанных относительно функции (tr), обладает только одним корнем.

3°. Если 9(0)= 1, то V стремится к нулю и х стремится к конечному пределу; нодля и у могут представиться различные случаи в зависимости от закона, по которому 9 (v) стремится к нулю, когда к нулю стремится v. Если«-"[1 - 9(0)] остается конечным, то получаются результаты упражнения 8.

Указание. Применяя уравнение (3), стр. 528, получим уравнение





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [103] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.005