2. Найти прямолинейное движение точки между двумя притягивающими центрами, например центрами Земли и Луны, предполагаемыми неподвижными и притягивающими с силами, обратно пропорциональными квадрату расстояния.

Ответ. Обозначая расстояние между обоими неподвижными центрами через а и принимая один из них за начало координат, имеем

mk mk

(а-ху •

В рассматриваемом случае между обоими центрами имеется положение неустойчивого равновесия Е. Если точка не находится в этом положении и ей сообщается начальная скорость в направлении этого положения, достаточно большая для того, чтобы она прошла через это положение, то она упадет во второй притягивающий центр. Если скорость точки обратится в нуль до того, как она достигнет положения Е, то она упадет в первый притягивающий центр. Если, наконец, алгебраическое значение скорости обращается в нуль в точке Е, то движущаяся точка неограниченно приближается к £ со скоростью, стремящейся к нулю, но никогда этого положения не достигнет.

3. Пусть x=f{t, Xq, Vq) - уравненив движения, вызванного силой X = tf (х), зависящей только от положения точки, причем xq и Vo - начальные абсцисса и скорость. Доказать, что другая точка с той же массой, абсцисса которой равна

где а - постоянная, движется под действием силы Ху = аХ, если начальная абсцисса и скорость равны Хд и Vg.

В частности, если а = У-1, то точка, движение которой задается формулой

Xi=/(<V=T, Хо, -VoV-i)

движется под действием силы Хх = - Х (Comptes Rendus, 30 декабря 1878). Применить к случаям

X=g, Х=-р.х, Х=-

Задача вычисления этих траекторий упрощается, если предположить, что частицы очень далеки от Земли, примерно на расстоянии более миллиона километров. Тогда можно рассматривать магнитное поле Земли как образованное одним элементарным магнитом, помещенным в центре Земли, ось которого совпадает с земной осью. Именно при таких упрощающих предположениях задача рассматривалась Карлом штёрмером в статье, помещенной в Archives des Sciences physiques et naturelles de Geneve, т. XXIV, 1907. Штёрмеру удалось получить важные результаты без интегрирования уравнений задачи. Ему, в частности, удалось объяснить некоторые существенные моменты опытов Биркелянда и более новых опытов Вилляра. Недостаток места не позволяет нам изложить здесь эту теорию, требующую длинных вычислений.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти прямолинейное движение точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния; X = - . Ответ.

где S обозначает отношение -. Это выражение v должно, по предположе-

нию, обращаться в нуль при х = Xq, т. е. при £ = 1. Время, затрачиваемое точкой для достижения начала, равно

се 1

7-=- JcpUo, i)dx = ~ f Xof(.Xo)dl

где X заменен через Xq. Так как интеграл 7" не зависит от Xq, то его производная

J dxQ

должна равняться нулю. Обозначим через в (дгр, £) интеграл

так что

д[хоч(хо, £)] dd(xo,i) .

дхо ~ дг

Функция в обращается в нуль при S = О, и условие таутохронности заключается в том, что в должна обращаться в нуль также и при 1=1. Наоборот, если в есть произвольная функция от Хц и 5, обращающаяся в нуль при

5 = 0 и S = 1, то интеграл равен нулю. Интегрируя уравнение (1) по дгр

и рассматривая £ как переменную, не зависящую от Хф получим

09 (0. 5) = / dxo + X (5),

где X(S) - произвольная функция от 5, а а - произвольная постоянная. Следовательно, для t; получается выражение

Jdb{xo,i)

-dXo + X(i)

4. Показать, что если закон таутохронного движения входит в формулу Лагранжа, то при присоединении к действующей силе сопротивления, пропорционального скорости, по-прежнему получится таутохронное движение.

5. В прямолинейном движении выразить скорость v в функции х и Хд так, чтобы соответствующее движение было таутохронным.

Ответ. Приняв точку таутохронности за начало, предположим, что скорость написана в следующей форме:

где 8 - произвольная функция от и £, подчиненная единственному ;згсло-ВИЮ, что она обращается в нуль при 5 = 0 и £ = 1. После квадратуры надо заменить 5 через xjxa. Так как скорость должна обращаться в нуль при £ = 1 и должна оставаться конечной, то требуется, кроме того, чтобы знзт менатель* обращался в бесконечность при £ = 1 и был отличен от нуля при изменении £ от 1 до 0.

После того как v будет найдено в функции х и х, для нахождения

закона силы достаточно будет исключить х т v и из ., что можно будет

сделать лишь при определенном выборе функции в (xq, £). Таким путем полу-dv

чим --=f(x, V), и для силы получим

cijc

F=mv- = mvf{x, v).

Например, если 9 тождественно равно нулю, то мы опять придем к случаю, когда дифференциальное уравнение движения однородно относительно х и V. Бертран уже давно заметил, что общая формула прямолинейного тауто-хронного движения должна содержать произвольную функцию от двух переменных.

6. Таутохронные движения (метод Гишара). Рассмотрим произвольные таутохронные движения. Движущаяся точка выходит из положения лгд и приходит в начало координат за промежуток времени, который мы можем принять равным единице. Скорость точки в начале координат изменяется с изменением Xq. Возьмем обратное движение; точка выходит из начала в момент < = О с переменной начальной скоростью V(,; она достигает положения Xq, изменяющегося вместе с v к моменту времени = 1. Для этого движения имеем

V==(\-t)f(t, Vo), (1)

где / обращается в «о при t = 0; более того, / положительно при всяком Vq и при t, заключенном между О и 1. Отсюда, обозначая через f ускорение, получим:

х = f{l-t)f(t, Vo)dt, (2)

Т = (1-)Л(. to)-/(<. «о)- (3)

Из формул (1) и (2) находим t н Vq и подставляем в формулу (3); тогда получим Tf = П (х, V). Полагая, наконец, F=- тП {х, v), получим таутохронное движение.

7. Найти силы, под действием которых происходят следующие движения:

x - Xocos t- Vo sin t,

x = XoCOSt- Vq sin t -(- gt,

x-==-+(Xo + Votr-.

8. Точка, совершающая прямолинейное движение, находится под действием только силы сопротивления R - mtp (t/), являющейся непрерывной функцией скорости v, существенно положительной и возрастающей вместе с V. Доказать: 1) если <р (0) отлично от нуля, то точка в течение конечного промежутка времени, описав конечный путь, остановится; 2) если <р (0) равно нулю и притом так, что произведение -"(t/) стремится к отличному от