d J ( ds dy \

ds гз V ds ds )

d-iy \ / dx dz \

ds-i ~~ rY ds ds)

ds г8 \ rfs ds ) i

Прежде всего очевидно, что траектория С является геодезической линией конуса с вершиной в точке О и направляющей С. Действительно, так -как скорость постоянна, то сила F направлена по главной нормали к С и, с другой стороны, сила F в точке М перпендикулярна образующей ОМ и скорости V, т. е. нормальна к рассматриваемому конусу. Но при помощи анализа, принадлежащего Дарбу (примечание VH к т. I «Механики» Депейру), можно показать, что этот конус будет круговым. Из уравнений (2), если сделать над ними преобразования, приводящие к теореме моментов относительно оси Ог, получим

d „ jL/.--j „.J-, \ + + dz " ~ " " гз ds ~

I dy dix\ z ( dx dy , dz\

г dr 1 dz

a-2 ds r ds ds Следовательно, интегрируя, получим

dx\ z , „

и точно так же

первый интеграл

- = --еК(х, у, 2) + h,

где V-потенциал электрического поля. В частном случае, если электрическое поле равно нулю, то скорость постоянна:

v = vl.

Тогда можно исключить время, вводя дугу траектории s соотношением

ds = t»o dt.

Первый частный случай. Электрическое поле равно нулю, магнитное поле создается единственным магнитным полюсом, помещенным л начале О.

При этих условиях сила магнитного поля X, Y, Z имеет силовую функцию вида и = -, где г - расстояние Ул:" + у -- г\ Тогда уравнения движения, если в них положить

dt = =

будут

где Л В, С - постоянные. Если эти уравнения умножить соответственно на Z, X, у я сложить, то получится

0 = -r + ylAT + By+Ci, (3)

т. е. уравнение конуса, на котором лежит траектория. Это - конс вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Р, имеющей уравнение

Ах + Ву-Сг = О,

так как уравнение (3) показывает, что конус является геометрически.у! местом точек, для которых отношение расстояний до точки О к расстояниям до плоскости Р, проходящей через точку О, постоянно.

Итак, траектория является геодезической линией кругового конуса с вершиной в точке О. Этот результат, отмеченный Пуанкаре, объясняет интересное явление затягивания катодных лучей магнитным полюсом, открытое в 1895 г. Биркеляндом (Archives des Sciences physiques et naturelles, т. VI, 1898, стр. 205).

Второй частный случай. Постоянные электрическое и магнитное поля. Интегрирование выполняется легко, когда оба поля постоянны. Возьмем оси так, чтобы ось Ог была параллельна силе X, Y, Z магнитного поля и чтобы плоскость гОх содержала постоянную силу Р, Q, R электрического поля.

Тогда X Y, Q будут равны нулю и общие уравнения движения (1) принимают вид:

dx „ dy

= eP - zZ

d-iy , dx

dz ш- = гР,

где коэффициенты постоянны. Возьмем за начало координат начальное положение движущейся точки в момент = 0. Обозначая через р, г и w постоянен zR tZ ные -, -,--, получим после первого интегрирования:

= -- coy -f- д, \ = - ч,х-\-Ь,

dt dy

dt dz dt

= rt + c.

где a, b, с - постоянные интегрирования, равные проекциям начальной скорости на оси. Далее исключение у приводит к линейному уравнению

dx dt

b p

в котором за неизвестную можно принять величину х----

и из кото-

рого получается

где А к а - новые постоянные. После этого из первого уравнения (5) имеем y = --- + Acos(.>t + a). (6>

Постоянные А и а таковы, что х л у обращаются в нуль при = 0. Интегрируя третье из уравнений (5), получим

Таким образом мы получили уравнения движения в конечной форме.

Движение можно рассматривать как составленное из равномерного кругового движения и параболического движения с постоянным ускорением, параллельным оси Ог. В самом деле, если положить

Х2 - А sin {a>t -f о), уа

и> со 2

: А cos {u>t + а), Z2 = о.

(7> (8>

то можно написать

Х = Х1+Х2, У = У1 + У2. Z = Zi + Z2.

Рис. 143.

Точка с координатами х,, у,, г, совершает параболическое движение в плоскости, параллельной плоскости гОу, с постоянным ускорением, равным г и параллельным оси Oz. Точка М2 с координатами Хо, у2 Z2 описывает

в плоскости хОу окружное ТВ» Со

радиуса А с центром в точке О, с угловой скоростью о). Положение точки к моменту времени t может быть получено путем построения результирующей векторов OMi и ОМ2, т. е. путем проведения через точку Jk) вектора ММ, равного и параллельного вектору ОМ2 (рис. 143).

Движение точки М можно тогда представить следующим образом: круг С постоянного радиуса А с центром в точке М-,, параллельный плоскости ху, совершает поступательное параболическое движение с постоянным ускорением, а точка М равномерно описывает окружность этого круга по тому же закону, по которому точка М2 описывает окружность Со-

Изменяя постоянные р, г, <о или Р, R, Z, мы иолучим частные случаи, приводящие к изящным результатам. Если R = 0, т. е. если электрическое поле перпендикулярно магнитному, то л == О и точка совершает прямолинейное равномерное движение. Получающаяся в общем случае парабола заменяется сейчас прямой и в зависимости от начальных условий можно в частных случаях получить в качестве траектории винтовую линию, циклоиду и т. д.

Третий частный случай. Исследования Штёрмера о полярных сияниях. На основании идей, высказанных в 1896 г. Биркеляндом и в 1900 г. Аррениусом, некоторые физики пришли к мысли, что полярные сияния н соответствующие магнитные возмущения вызываются электрическими частицами (катодными или сходными с ними лучами), приходящими из пространства и движущимися по траекториям, определяемым действием земного магнетизма