Главная Промышленная автоматика.

d J ( ds dy \

ds гз V ds ds )

d-iy \ / dx dz \

ds-i ~~ rY ds ds)

ds г8 \ rfs ds ) i

Прежде всего очевидно, что траектория С является геодезической линией конуса с вершиной в точке О и направляющей С. Действительно, так -как скорость постоянна, то сила F направлена по главной нормали к С и, с другой стороны, сила F в точке М перпендикулярна образующей ОМ и скорости V, т. е. нормальна к рассматриваемому конусу. Но при помощи анализа, принадлежащего Дарбу (примечание VH к т. I «Механики» Депейру), можно показать, что этот конус будет круговым. Из уравнений (2), если сделать над ними преобразования, приводящие к теореме моментов относительно оси Ог, получим

d „ jL/.--j „.J-, \ + + dz " ~ " " гз ds ~

I dy dix\ z ( dx dy , dz\

г dr 1 dz

a-2 ds r ds ds Следовательно, интегрируя, получим

dx\ z , „

и точно так же

первый интеграл

- = --еК(х, у, 2) + h,

где V-потенциал электрического поля. В частном случае, если электрическое поле равно нулю, то скорость постоянна:

v = vl.

Тогда можно исключить время, вводя дугу траектории s соотношением

ds = t»o dt.

Первый частный случай. Электрическое поле равно нулю, магнитное поле создается единственным магнитным полюсом, помещенным л начале О.

При этих условиях сила магнитного поля X, Y, Z имеет силовую функцию вида и = -, где г - расстояние Ул:" + у -- г\ Тогда уравнения движения, если в них положить

dt = =

будут



где Л В, С - постоянные. Если эти уравнения умножить соответственно на Z, X, у я сложить, то получится

0 = -r + ylAT + By+Ci, (3)

т. е. уравнение конуса, на котором лежит траектория. Это - конс вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Р, имеющей уравнение

Ах + Ву-Сг = О,

так как уравнение (3) показывает, что конус является геометрически.у! местом точек, для которых отношение расстояний до точки О к расстояниям до плоскости Р, проходящей через точку О, постоянно.

Итак, траектория является геодезической линией кругового конуса с вершиной в точке О. Этот результат, отмеченный Пуанкаре, объясняет интересное явление затягивания катодных лучей магнитным полюсом, открытое в 1895 г. Биркеляндом (Archives des Sciences physiques et naturelles, т. VI, 1898, стр. 205).

Второй частный случай. Постоянные электрическое и магнитное поля. Интегрирование выполняется легко, когда оба поля постоянны. Возьмем оси так, чтобы ось Ог была параллельна силе X, Y, Z магнитного поля и чтобы плоскость гОх содержала постоянную силу Р, Q, R электрического поля.

Тогда X Y, Q будут равны нулю и общие уравнения движения (1) принимают вид:

dx „ dy

= eP - zZ

d-iy , dx

dz ш- = гР,

где коэффициенты постоянны. Возьмем за начало координат начальное положение движущейся точки в момент = 0. Обозначая через р, г и w постоянен zR tZ ные -, -,--, получим после первого интегрирования:

= -- coy -f- д, \ = - ч,х-\-Ь,

dt dy

dt dz dt

= rt + c.

где a, b, с - постоянные интегрирования, равные проекциям начальной скорости на оси. Далее исключение у приводит к линейному уравнению

dx dt

b p

в котором за неизвестную можно принять величину х----

и из кото-

рого получается



где А к а - новые постоянные. После этого из первого уравнения (5) имеем y = --- + Acos(.>t + a). (6>

Постоянные А и а таковы, что х л у обращаются в нуль при = 0. Интегрируя третье из уравнений (5), получим

Таким образом мы получили уравнения движения в конечной форме.

Движение можно рассматривать как составленное из равномерного кругового движения и параболического движения с постоянным ускорением, параллельным оси Ог. В самом деле, если положить

Х2 - А sin {a>t -f о), уа

и> со 2

: А cos {u>t + а), Z2 = о.

(7> (8>

то можно написать

Х = Х1+Х2, У = У1 + У2. Z = Zi + Z2.


Рис. 143.

Точка с координатами х,, у,, г, совершает параболическое движение в плоскости, параллельной плоскости гОу, с постоянным ускорением, равным г и параллельным оси Oz. Точка М2 с координатами Хо, у2 Z2 описывает

в плоскости хОу окружное ТВ» Со

радиуса А с центром в точке О, с угловой скоростью о). Положение точки к моменту времени t может быть получено путем построения результирующей векторов OMi и ОМ2, т. е. путем проведения через точку Jk) вектора ММ, равного и параллельного вектору ОМ2 (рис. 143).

Движение точки М можно тогда представить следующим образом: круг С постоянного радиуса А с центром в точке М-,, параллельный плоскости ху, совершает поступательное параболическое движение с постоянным ускорением, а точка М равномерно описывает окружность этого круга по тому же закону, по которому точка М2 описывает окружность Со-

Изменяя постоянные р, г, <о или Р, R, Z, мы иолучим частные случаи, приводящие к изящным результатам. Если R = 0, т. е. если электрическое поле перпендикулярно магнитному, то л == О и точка совершает прямолинейное равномерное движение. Получающаяся в общем случае парабола заменяется сейчас прямой и в зависимости от начальных условий можно в частных случаях получить в качестве траектории винтовую линию, циклоиду и т. д.

Третий частный случай. Исследования Штёрмера о полярных сияниях. На основании идей, высказанных в 1896 г. Биркеляндом и в 1900 г. Аррениусом, некоторые физики пришли к мысли, что полярные сияния н соответствующие магнитные возмущения вызываются электрическими частицами (катодными или сходными с ними лучами), приходящими из пространства и движущимися по траекториям, определяемым действием земного магнетизма





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [101] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037