Главная Промышленная автоматика.

(1 + и>Г (1 + и)"

где показатель п положителен, так как а меньше 1. Подставляя это значение q в выражение для , найдем

1 TU

(1 +

«о

Когда л целое, квадратура может быть выполнена. Это выражение легкоподдается разложению в ряд.

Замечание по поводу интегрирования уравнения (3). Мы видели, что задача приводится к квадратурам, если из уравнения (3) удается определить v в функции а. Поэтому представляет интерес исследовать это уравнение и указать случаи интегрируемости. Это сделал Сиаччи в двух статьях в Comptes Rendus, т. СХХХП и СХХХП1, 1901. С другой стороны, для выполнения интегрирования можно привести уравнение (3) при помощи подстановки*).

V [sin а + tp {v)] = J

к уравнению

dz dv

т. е. к виду

= V [срЗ {V) - 1] гз - [29 (t-) -f v<f (t-)] г.

= СоЗ + Ci3 -f cz -f Сз,

Исследованному многими авторами (Рожер Лиувилль, Comptes Rendus> 6 сентября, 1886; Аппель, Sur les invariants de quelques equations diffferen-tielles, Journal de Jordan, т. 5, 1891; П e н л ё в e, Annales de IEcole Normale superieure, т. VIII, 1891; Эллиот, там же, т. VII, 1890). Следует отметить также работы Драха, определившего все виды функции tp (t»), при которых уравнение (3) интегрируется в квадратурах (Comptes Rendus, 1914).

220. Движение легкого вращающегося шара в воздухе. Карьер исследовал экспериментально траектории в воздухе легких однородных сферических ядер, вращающихся вокруг оси, перпендикулярной плоскости траектории центра. Он установил вид различных траекторий в зависимости от величины и направления вращения. Результаты даны в статье в Journal de Physique theorique et appliquee, т. V, 1916. Существенным является то, что при постоянном вращении получаются траектории, которые вместо вертикальных асимптот, как это было выше, имеют асимптоты, наклоненные в ту или иную сторону, в зависимости от направления вращения. Причину этих отклонений следует искать главным образом в трении о воздух поверхности ядра. Это трение вызывает элементарные действия, которые, будучи перенесены параллельно самим себе в центр тяжести, имеют равнодействующую, зависящую от направления и скорости вращения. Вид траекторий.

*) См. Аппель, Archiv der Mathematik und Physik, т. 5, 1903.

Значение q принимает вид

2" и"-"" 2" и"



*) Ann ель. Journal de Physique theorique et appliquee, т. VII, 1917 стр. 5 и 49.

**) Этот и следующий результаты являются прямым следствием теоремы Н. Е. Жуковского о подъемной силе. (Прим. перев)

найденный Карьером, можно объяснить, если принять следующую гипотезу о полном эффекте сопротивления и трения воздуха *):

Движение центра тяжести будет таким, как если бы точка с массой т, равной всей массе ядра, находилась под действием своего веса mg и сопротивления R = mg<f (v), возрастающего вместе со скоростью v точки, но не направленного в сторону, противоположную скорости, а образующего с вектором, противоположным скорости v, острый угол ф, положительный или отрицательный, в зависимости от направления угловой скорости вращения а>. Угол <\> возрастает вместе с а и обращается в нуль при со = О **).

Эта гипотеза указывает на то, что сопротивление R, которое при се = О прямо противоНОложно скорости V, отклоняется вследствие вращения в сторону, противоположную направлению вращения, на острый угол являющийся возрастающей функцией угловой скорости ч> и обращающийся в нуль при <о = 0. На малом участке траектории скорость ш и угол \ остаются прнблизи-тельно постоянными.

Обозначая, как и раньше, через а угол между t; и Ох и приняв те же оси, что и на рис. 141, получим при R = mgf{v) уравнения движения:

•--- " - (f) COS (а -f ф), -~-- = - g-tp (t)) Sin (а + ф) - g,

откуда, исключая dt, получим дифференциальное уравнение годографа [9 (t») Sin ф - cos a]dv = v [tp (t») cos Ф - Sin a] da,

определяющее t; в функции a, если ф рассматривать как постоянную. Это уравнение при ф = О переходит в классическое уравнение.

В частном случае, когда сила R пропорциональна скорости v,

R = mg~,

уравнения движения приводятся к линейным уравнениям, определяющим координаты X я у в функции t.

Случай, когда мгновенное вращение шара имеет произвольное направление. В предыдущих экспериментах ядро вращалось вокруг оси, перпендикулярной плоскости траектории. Производились также эксперименты, в которых мгновенная ось вращения имела произвольное, но известное направление. В этом случае траектория была, вообще говоря, пространственной кривой. Предполагается, что та же самая гипотеза относительно полного эффекта сопротивления среды может быть сделана и для такого рода движений. Сопротивление R = mg<f (у) вместо того, чтобы быть

противоположным вектору скорости v центра тяжести G, имеет направление, которое находится поворотом вектора -v на острый угол ф вокруг оси Ga> мгновенного вращения шара в сторону, противоположную этому вращению; этот угол ф является возрастающей функцией от мгновенной угловой скорости а> и обращает в нуль при ш = 0. Таким образом, если ось мгновенного вращения касательна к траектории или угловая скорость равна нулю, то сопротивление будет противоположно скорости.

По затронутым здесь вопросам можно указать на статью лорда Рэлея «Оп the irregular flight ef a tennis-balb (Messenger of mathematics, n°. 73, 1877) и на статью Гринхилла (Messenger of mathematics, т. IX, 1880).



221. Движение наэлектризованной частицы в наложенных друг на друга электрическом и магнитном полях. Рассмотрим материальнук> частицу М массы т, имеющую заряд е и движущуюся в пространстве со скоростью V.

Представим себе сначала неподвижные электрические заряды .на неподвижных телах, создающие электрическое поле, в котором электрическая сила, действующая на электрический заряд -f 1, помещенный в точке (л:, у, г), имеет проекции Р, Q, R, определяемые формулами

Р = -

дУ дх

Q = -

ду ду

R = -

где К - потенциал электрического поля. Тогда сила, действующая на массу т,. несущую заряд е, будет иметь проекции еЯ, eQ, tR.

Допустим, что, кроме того, имйтся магнитное поле, в котором составляющие вектора напряженности поля Н равны Нх, Ну, Hg (направление Н считается совпадающим с направ-лением силы, действующей на положительный полюс магнита). Тогда сила F, с которой это поле действует на движущуюся частицу, определяется следующим

dx dy

законом: пусть х, у, г - координаты частицы М;

dz dt

dt dt

- проекции ее скорости v\c - скорость света; сила/=

перпендикулярна к плоскости векторов Я и «и равна sin (Я, V). Если заряд е положительный, то

Рис. 142.

сила р направлена в сторону, откуда кратчайшее совме-

щение вектора Н с v видно против хода часовой стрелки (рис. 142);; следовательно,

F = -(HXv).

Если оси координат расположены обычным образом, то проекции силы Р будут

dt

dy dt

и две аналогичные формулы получатся круговой перестановкой букв. Следовательно, уравнения движения частицы будут

<Рх dfi rfy dt d-iz

dt /•

Если электрическое и магнитное поля произвольны, то об интегрировании этих уравнений сказать ничего нельзя, за исключением того, что непосредственно следует из теоремы кинетической энергии. Эта теорема дает

= t{Pdx + Q dy-\-Rdz),

так как работа силы F равна, очевидно, нулю. Следовательно, имеете»





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [100] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038