Главная Промышленная автоматика.

Полагая здесь

Зр» Sp*

получим

X - Z у -т] z - t,

т. е. уравнение прямой D, проходящей через точку С с координатами , т), С и параллельной заданным векторам.

Когда все векторы скользят вдоль их линий действия, прямая D не изменяется, так как не изменяются величины X, Y, Z, L, М, N. Координаты точек приложения х, У], изменяются; поэтому точка C(i, Tj, С) перемещается, но она описывает центральную ось D заданных параллельных скользящих векторов, вдоль которой скользит результирующий вектор.

Отсюда получаем необходимые и достаточные условия эквивалентности системы нулю:

Vd л HkXjc РкУк Рки 2Р = 0,---=---=---.

Примечание. В частном случае, когда

предыдущие условия будут выполняться, каковы бы ни были а. Система будет эквивалентна нулю, какое бы направление ни задавать параллельным векторам, если только при этом не изменять отношения их величин и точек приложения. Говорят, что в этом случае система параллельных векторов находится в астатическом равновесии.

Центральная ось. Результирующий вектор. Пусть РО. Тогда система эквивалентна одному вектору, алгебраическое значение которого равно Р и проекции которого суть оР, рР, ifP. Этот вектор лежит на центральной оси. Для краткости мы будем называть его результирующим вектором системы.

Уравнения центральной оси в рассматриваемом случае прини* мают вид

Z -гК -L = 0, zX-xZ - M = 0, xY - yX-N=0.

так как общее значение отнощений, которые образуют уравнение этой оси, обращается в данном случае в нуль. После подстановки найденных ранее значений X, Y, Z, L; М, N получим:

тИ-2л)-р(Р2-2/л) = о,....

откуда

Рх-РкХ Ру-РкУч Рг-Рг



АР cos PAV = АР cos PAV.

V. Связанные векторы; шесть координат связанного вектора; центр параллельных связанных векторов. Векторные производные

30. Шесть координат связанного вектора. Вириал. Мы назвали связанным всякий вектор, приложенный в определенной точйе пространства.

Например, главный момент AG какой-нибудь системы скользящих векторов относительно некоторой точки А есть вектор, связанный с этой точкой А.

Для аналитического определения вектора АВ, связанного с точкой А, необходимо задать три координаты х, у, точки А и три проекции Ху, Fj, вектора, всего шесть независимых величин, составляющих координаты связанного вектора.

Ниже, при изложении понятия работы, а затем в третьем томе, мы будем заниматься исследованием векторного поля,, т. е. системы связанных векторов, приложенных в различных точках некоторой непрерывной области пространства.

Вириал. В п. 12 мы видели, что скользящий вектор имеет пять координат. Чтобы определить связанный вектор, достаточно добавить к пяти координатам этого вектора, рассматриваемого как скользящий, шестую величину, не зависящую от них. Эта величина может быть взята, например, равной вириалу Клаузиуса относительно некоторой заданной точки Р.

Пусть AV=V-вектор, связанный с точкой А. Возьмем какую-нибудь точку Р, которую мы будем рассматривать как конец вектора АР = г. Тогда вириал v вектора V относительно точки Р есть скалярное произведение

v=Vr cos Vr

векторов V п г. Если принять точку А за начало прямоугольной системы координат и обозначить через X, Y, Z проекции вектора V, а через х, у, г координаты точки Р, то

v = Xx-JrYy-j-Zz.

Имеет место следующая теорема:

Если два геометрически равных вектора имеют одинаковые моменты М и одинаковые вириалы v относительно одной только точки Р, то они приложены в одной и той же точке, т. е. они идентичны.

Допустим, что эти векторы суть AV и AV и они приложены в разных точках А и А. Так как моменты равны, то эти векторы лежат на одной прямой АА. Кроме того, из равенства вириалов вытекает



И, следовательно, проекции РА и РА tti АА равны по величине и знаку, т. е. точка А совпадает с точкой А.

Следовательно, связанный вектор может быть определен своим вириалом относительно некоторой точки Р и пятью своими координатами, если рассматривать его в качестве скользящего вектора.

31. Центр системы параллельных связанных векторов. Мы видели (п. 29), что система параллельных скользящих векторов с отличной от нуля геометрической суммой эквивалентна одному результирующему скользящему вектору, лежащему на центральной оси D системы.

Обозначим, как и раньше, через а, р, ( направляющие косинусы прямой, параллельной векторам, через Р,, Р, Р„ -их алгебраические величины, считаемые положительными в направлении а,

р, f, и через л:,, у, г,, Xj, У2, z,.....х„, з;„, 2:„-координаты

точек приложения этих векторов. Проекции Х, Y, вектора Р суть oPfc, pPfc, -Pfc. Мы показали (п. 29), что результирующий вектор такой системы параллельных скользящих векторов им параллелен, имеет алгебраическое значение, равное

Р=Р.+Р,+ ... +p„=2ft.

и проекции X, Y, Z, равные величинам аР, рР, -[Р, и, наконец, что он лежит на центральной оси D, определяемой уравнениями

"лГ -лГ ""2

Предположим теперь, что векторы Р связаны со своими соответствующими точками приложения х, у, z, рассматриваемыми как вполне определенные, и не могут скользить вдоль своих линий действия. Тогда точка С, координаты которой выражены уравнениями (С), будет вполне определенной. Эта точка называется центром заданной системы параллельных векторов, связанных со своими точками приложения. Переместим теперь результирующий вектор Р вдоль оси D, пока его точка приложения не совпадет с С, и будем считать его вектором, связанным с точкой С. Полученный таким образом результирующий вектор, связанный с точкой С, называется результирующим вектором системы параллельных связанных векторов.

Таким образом, если параллельные связанные векторы имеют отличную от нуля геометрическую сумму, то результирующий вектор будет равен этой сумме и связан с центром заданной системы параллельных связанных векторов.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037