Главная Промышленная автоматика.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

ГЛАВА I

ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ

Излагаемые в этой главе геометрические теории введены главным образам Пуансо, Шалем и Мёбиусом. Они находят приложение во многих важных вопросах геометрии, кинематики, механики и физики. Так, например, векторами изображаются скорости, ускорения, вращения, силы, вихри в гидродинамике и т. д.

I. Определения

1. Геометрические величины, или векторы. Геометрической величиной, или вектором, называется отрезок прямой АВ (рис. 1), имеющий начало в точке и конец в точке Bj.

Если отрезок АВ неограниченно продолжить в обе стороны, то получится бесконечная прямая D, которая называется линией

действия вектора, или его основанием. Вектор обычно определяется следующими элементами: 1) своим началом или точкой приложения А; 2) своей линией действия, совпадающей с неограниченной прямой AD{, 3) своим направлением, обозначаемым стрелкой на конце и совпадающим с направлением, в котором движется точка, перемещающаяся из начала А к кон-Рис. 1. цу. В{; 4) своим модулем Рр являющимся длиной отрезка АВу Аналитически вектор определяется координатами (лг, Zy) его начала и (л:, у[, z его конца относительно трех осей координат, или координатами (лг, у, z его начала и проекциями Х, Y, отрезка АВ на эти оси. При этом знаки проекций определяются обычными правилами аналитической геометрии. Эти проекции, очевидно, равны

Х = х[-х, Y=y-y, Z=z-z. (1)

Мы будем обозначать вектор одной буквой Pj, представляющей его длину или модуль и помещенной на его конце. В тех случаях, когда можно опасаться смешения с буквами, изображающими числа, мы будем




обозначать вектор АВ или также через (ABJ, (Р) или че-

->

рез АВ, или *).

Два вектора называются геометрически равными, если они параллельны, имеют одинаковые модули и одинаково направлены. Два вектора называются равными и противоположными, если они равны, параллельны и направлены в противоположные стороны.

2. Различные категории векторов. Все векторы, в зависимости от того, какие физические или механические величины они представляют, могут быть разделены на три следующие категории:

1°. Прежде всего может случиться, что два геометрически равных вектора изображают одну и ту же физическую или механическую величину. Как мы увидим дальше, это будет, например, справедливо для так называемых векторов моментов пары. Такого рода векторы, не имеющие ни определенной линии действия, ни определенной точки приложения, называются свободными.

2°. Может, однако, случиться, что два геометрически равных вектора АВ и А2В2 (рис. 2) изображают одну и ту же физическую величину лишь при условии, что они имеют ,

общую линию действия, но они изображают различные физические величины,

если имеют различные линии действия. yi

Это, например, имеет место для векторов, изображающих силы, действующие на твер-дое тело. Такие неотделимые от линии дей-ствия векторы называются скользящими.

3°. Может, наконец, случиться, что изображаемая физическая величина такова, Р с 2

что два различных вектора изображают

две различные физические величины, т. е. что вектор не может быть отделен от своей точки приложения. Такого рода векторы называются связанными. Связанным будет, например, вектор, изображающий скорость движущейся точки в какой-нибудь момент времени. Действительно, этот вектор не может быть отделен от движущейся точки.

Мы рассмотрим последовательно указанные выше три категории векторов и будем характеризовать их некоторыми числами, которые в известном смысле являются их координатами.

П. Свободные векторы. Три координаты свободного вектора

3. Три координаты свободного вектора. Возьмем три оси Oxyz (рис. 1) и обозначим через Х., Y, алгебраические значения

проекций вектора АВ на эти оси, причем проектирование на какую-нибудь ось производится параллельно плоскости, проходящей через

*) Скобками обозначается еще система векторов (S) (Прим. перев.)

2 Зак, 851. П. Аппель, т. I



*) В оригинале употребляется термин «внутреннее произведение». {Прим. перев.)

две другие оси. Так как два геометрически равных вектора имеют, очевидно, одинаковые проекции и два вектора, имеющие одинаковые проекции, геометрически равны, то свободный вектор характеризуется тремя числами Х. Y, Z, которые являются его координатами.

Два вектора Pi и Р2 с проекциями Х, Kj, Z и Х, Y, геометрически равны, когда

Х = Х, Ki = К2, 2j = Z,

равны и противоположны, когда

1 = - Х, Jl = - Zj = - Z,

параллельны, когда их проекции пропорциональны:

JCo Y<>

Случай прямоугольных осей. Направляющие косинусы вектора. Допустим, что оси координат Ох, Оу, Oz являются прямоугольными, и обозначим через а, ii косинусы углов, которые образует

с этими осями вектор Аф, имеющий модуль Р. Проектируя вектор на эти оси, получим

Х,Р,а„ K,==P,Pi, Z, = P,i, (2)

и, кроме того,

PVX\+Y\ + Z\.

Скалярное произведение двух векторов; угол между ними. Рассмотрим два вектора и Р2. Их скалярным *) произведением (согласно мемуару Грассмана, Геометрический анализ, 1846) называется число

Р,Р2 cos (PjPa).

получаемое умножением произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. В этом произведении первые два множителя положительны; третий множитель cos (PjPa) положителен, отрицателен или равен нулю в зависимости от того, будет ли угол между обоими векторами острым, тупым или прямым.

Предполагая снова оси прямоугольными, обозначим через Х Y, Zi, Аг, Kg, Z2 проекции обоих векторов на эти оси, а через а., Ti> > р2> Та - направляющие косинусы. Имеем

cos (Р1Р2) = а,а2 + р1р2 + Т1Т2.

откуда, заменяя ttj, aj, ... найденными из формул (2) значениями-=J-,

., получим формулу

Р,Р2 cos (Р.Рг) = Х,Х 4- К, + Z,Z2. (3)





0 [1] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0047