Главная Промышленная автоматика.

лучить линейную статическую характеристику = kUy, если после релейного элемента установить фильтр. Таким фильтром может быть, например, сам исполнительный двигатель, питаюпций-ся от релейного усилителя, если его электромеханическая постоянная времени значительно больше периода линеаризующего напряжения.

В качестве дополнительного линеаризующего напряжения Цд может быть использовано напряжение автоколебаний самой нелинейной системы. В этом случае нелинейное звено охватывается внутренней обратной связью, передающей напряжение автоколебаний, возникающих в контуре обратной связи, на узел суммирования, формирующий результирующий сигнал Цу + Цд на входе релейного элемента.

Описанный способ вибрационной линеаризации существенно снижает влияние люфтов, зазоров, сухого трения в механических передачах, обусловливая пропорциональную зависимость между выходным напряжением релейного элемента И напряжением управления на его входе.

Внешнее периодическое воздействие, возбуждающее в системе вынужденные колебания, может быть использовано для устранения либо изменения параметров, имеющихся в системе автоколебаний.

10.9. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ САУ

Вводные замечания. Исследование нелинейных систем при случайных воздействиях является более сложной задачей, чем исследование линейных систем. Большинство известных методов статистического исследования нелинейных систем приближенные. К ним, например, относятся метод непосредственной линеаризации, метод статистической линеаризации, методы, основанные на применении канонических разложений случайных сигналов, методы, основанные на представлении сигналов в виде марковских процессов, методы статистических испытаний и т.д.

Метод статистической линеаризации. Метод состоит в замене нелинейных характеристик эквивалентными в вероятностном смысле линейными зависимостями. Эквивалентность достигается по первым двум моментам (см.гл.9) случайных функций, т.е. по их средним статистическим значениям и дисперсиям. Рассмотрим прохождение плавно изменяющегося полезного сигнала и помехи через нелинейное звено.

На рис. 10.17, а изображены характеристика звена с ограничением и графики изменения входного u{t) и выходного x(t) сигналов. Выходной сигнал можно записать в виде




Рис. 10.17. Нелинейное преобразование случайного сигнала (а) и структура статистической линеаризации (б)

Заменим характеристику нелинейного элемента x{t) = F{it{t)) приближенной линейной зависимостью

x(t) = FQ +VoW. где Fq - статическая характеристика линеаризации, или статистическая характеристика нелинейного элемента: Fq = km; ko - статистический коэффициент усиления по полезному сигна-

лу (математическому ожиданию); m„ = juw(u)du - математиче-

ское ожидание процесса на входе нелинейного элемента; w(u) - плотность вероятностей входного сигнала; ki - статистический коэффициент усиления по случайной составляющей. Таким образом.

x{t) = ктпи + ftiuo(t).

(10.34)

x(t) = m(t) + UQ(t),

где mu(t) - математическое ожидание входного сигнала, включающее полезный сигнал; uo(t) - центрированная случайная составляющая входного сигнала, имеющая равное нулю математическое ожидание. Сущность статистической линеаризации состоит в замене нелинейного преобразования линейным, учитывающим совместное прохождение полезного сигнала и помехи.



На рис. 10.17, б (обведено штриховой линией) приведена эквивалентная структура нелинейного элемента, соответствующая уравнению (10.34).

Коэффициенты Aq и k\ можно определить из условия равенства математических ожиданий и дисперсий:

= kf,mu;

Dx = klM[uQ(t)f = klD , где Х)ц = \(u-m,Yw{u)du - дисперсия случайного процесса на

входе нелинейного элемента.

Значения коэффициентов Hq, ky, Fq можно найти и другим путем: из условия минимума среднего квадрата отклонения А. = F(u) - Fq(u) - kyUQt) (см. рис.10.17, б). Средний квадрат отклонения

M(i?) = M[F(u) -Fq- kiuf = M[F(u) + F + kfMlu] -

-2FoM[Fiu)] - kiM[F(u)uQ]. Дифференцируя это выражение по и fei и приравнивая производные нулю, находим:

Fq = M[F(u)] = m; Aq = /

(10.35)

kl = M[F(u)uo]/M[4] = M[xuo]/D,,. Выразив в формуле (10.35) Fq и ky через плотности вероятностей ш(и) входного сигнала u(t), получим:

00 ..00

Fq = JF{u)wiu)du; Aq =- JF(u)w{u)du;

(10.36)

1 °°

kl =- \F{u)(u - mu)w{u)du.

Вычисление полученных статистических коэффициентов возможно, если заранее известен закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента. Обычно при расчетах принимают закон распределения случайного сигнала нормальным. Подставив в выражения (10.35), (10.36) плотность вероятности случайного сигнала

ш(ц) = i2nDJ~/exp(-(u - /п)/2D,,).

получим:

Ао = /njl(27rZ)„)-/2 2Г(ц)ехр(-(ц - mj /(2DJ)du ,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 [99] 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0037