Главная Промышленная автоматика.

W(p) = - = и а

соответствует линейной части (ЛЧ) структурной схемы (рис. 10.8), которая замкнута с помощью нелинейной обратной части (НЧ).

Система (10.17) абсолютно устойчива в том случае, если она устойчива в целом при любом выборе нелинейной характеристики и = /(ст), удовлетворяющей неравенству О < /(ст) Аст , т.е. расположенной внутри угла, ограничиваемого осью абсцисс и прямой и = k<3, где h - заданное число (рис.10.9).

Хвых

Рнс.10.8. Структура нелинейной системы

4) кривая г/5 = /(j/o) и прямая 1/5 = уо имеют две точки пересечения, соответствующие двум возможным режимам автоколебаний, один из которых обычно устойчив, а второй неустойчив;

5) кривая 1/5 = f(yo) и прямая 1/5 = уо имеют точку касания. В данном случае имеют место полуустойчивые автоколебания.

10.5. КРИТЕРИЙ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ В.М.ПОПОВА

Система дифференциальных уравнений, описывающих динамику структур с нелинейными элементами, может быть записана в виде

Xi = taijXj+bina), i = l,2.....п; а = -сх , (10.17)

j=l k=i

где Щр bi, Cji - заданные коэффициенты (числа). Если все С/, кроме одного (например, cj), равны нулю, то нелинейная функция /(ст) зависит только от одной координаты.

Обозначив для этого случая и = /(ст) и положив, что функция /(ст) непрерывная и гладкая, после исключения из уравнений (10.17) всех переменных, кроме ы и ст, найдем операторное уравнение линейной части системы в виде

(а„р" + a„ ip"-i + ... + ао)а = (Ьр" + ... + bo)u . (10.18)

Будем считать, что разомкнутая система устойчива, т.е., что все корни уравнения

О/гР" + "n-lP"" + - + "о = О

расположены слева от мнимой оси. Условно можно положить, что уравнение (10.18) определяет передаточную функцию





Рис.10.9. Характеристика нелинейной части

у, /

-1/к/


Рис.10.10. Критерий абсолютной устойчивости В.М.Попова


-1/fe

Критерий абсолютной устойчивости \f>y До) В.М.Попова следует из теоремы: для того чтобы система вида (10.17) была абсолютно устойчива в угле (О, к), достаточно, чтобы можно было подоб рать такое конечное число q, при котором при любом О) > О выполняется неравенство

Re(l + ;gffl)WO(o) + l/ft>0. (10.20)

В.М.Попов указал следующую геометрическую интерпретацию его теоремы. Введем в рассмотрение видоизмененную частотнз характеристику, которая перестраивается из W(yco), если не менять абсцисс, а ординаты умножить на со:

W*(j(a) = ReWUfo) + усо Im W(yco) = X + ;Y .



Левую часть неравенства (10.20) можно записать так: Re(l + jq(a)WU(a) +1 / ft = Re W(yco) - qa Ira W(jm) + 1 / ft. Тогда условие устойчивости будет иметь вид X-qY + l/k>0.

Уравнение

X-qY + l/k = 0

определяет в плоскости ХУ прямую, проходящую через точку X = -1/ft, У = О с угловым коэффициентом 1/q.

Критерий абсолютной устойчивости сформулирован В.М.Поповым следующим образом: для абсолютной устойчивости достаточно, чтобы в плоскости ХУ через точку действительной оси с абсциссой -1/ft можно было провести негоризон тальную прямую так, чтобы видоизмененная частотная характеристика не пересекала этой прямой (она может иметь с этой прямой общие точки).

На рис.10.10, а-е изображены амплитудно-фазовые характеристики W*(j(u) абсолютно устойчивых систем, для которых критерий В.М.Попова выполняется, на рис.10.10, д, е - характеристики неустойчивых систем, для которых этот критерий не выполняется.

10.6. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам исследования автоколебаний. Он позволяет определить условия существования и параметры автоколебаний в нелинейных системах практически любого порядка. Этот метод может быть использован также для исследования вынужденных колебательных режимов и приближенной оценки качества переходных процессов.

Метод гармонической линеаризации (или, иначе, гармони ческого баланса) основан на исследовании поведения системы при гармоническом (синусоидальном) воздействии, подаваемом на вход нелинейного элемента, и замене периодической кривой на выходе нелинейного элемента первой гармоникой. Погрешность, получаемая при такой замене, сравнительно невелика, так как в действительности из-за последующего сглаживающего действия линейной части САУ, являющейся своего рода фильтром низкой частоты, все высокочастотные колебания не пропускаются. Практически они подавляются элементами системы, обладающими инерпионностью (например, индуктивностью, механическими массами и др.).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [94] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0044