Главная Промышленная автоматика.

Дифференциальное уравнение, описывающее свободное движение системы, теперь будет иметь вид

Tdy/dx = k\]j{x + Тсу)/у - 1. Это уравнение отличается от (10.10) тем, что функция ц) нелинейного элемента определяется не только х, но и ее производной у = X Уравнение линии переключения

ТсУ + х = 0. (10.15)

Таким образом, введение отрицательной обратной связи по производной от X вызвало наклон линии переключения (рис. 10,6, б), т.е. обусловило зависимость х от скорости ее изменения у. Направление наклона зависит от знака обратной связи.

Сравнительный анализ фазовых портретов, представленных на рис.10.5, а и 10.6, б, показывает, что при наличии обратной связи по производной выходной координаты число колебаний ограничивается за счет появления на линии переключения участка АВ), к которому фазовые траектории подходят с обеих сторон, а отходящие траектории отсутствуют. Изображающая точка, попав на этот участок, движется по нему в начало координат. Переходный процесс, соответствующий этому участку, описывается уравнением линии переключения (10.15), которое представляет дифференциальное уравнение первого порядка. Решение этого уравнения

x=Xoexpit/Tc) (10.16)

показывает, что переходный процесс в этом случае апериодический.

На рис.10.6, б показана касательная CD к фазовой траектории в момент, когда изображающая точка находится на линии переключения. Чем ближе изображающая точка к началу координат, тем большим становится наклон этой касательной. В точке А наклон касательной становится равным наклону линии переключения, и обе прямые сливаются. Изображающая точка теперь скользит вдоль линии переключения, приближаясь к началу координат. Режим, соответствующий участку АВ, называется скользящим.

Переходный процесс здесь протекает так же, как в системе непрерывного действия. Однако функционирование физической системы осуществляется благодаря переключениям релейного элемента. Поэтому теоретически скользящий режим должен сопровождаться колебаниями выходной координаты относительно среднего значения с бесконечно малой амплитудой при бесконечно большой частоте. В действительности переключение реального релейного элемента осуществляется с конечной частотой при конечном значении амплитуды колебаний.



10.4. МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Метод точечных преобразований в применении к исследованию нелинейных систем автоматического управления разработан А.А.Андроновым и основан на замене истинного переходного процесса приближенным. Замена производится по участкам, для каждого из которых нелинейная часть характеристики представляется линейным отрезком. Это дает возможность получить интегрируемое линейное дифференциальное уравнение, приближенно отражающее процесса в пределах данного участка. Для системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, ход расчета можно показать на фазовой плоскости, по осям которой откладываются исследуемая переменная л: и ее производная по времени у. Решение динамической задачи сводится к изучению точечного преобразования координатной полуоси в самое себя.


Рис.10.7. Метод точечных преобразований

На рис.10.7, а приведена фазовая плоскость с координатными осями X тл у. Прямые Ni, Nl, N, N, параллельные оси ординат, ограничивают области, в пределах которых движение системы описывается линейными дифференциальными уравнениями. Границы областей определяются границами выбранных участков характеристики нелинейного элемента.

Допустим, что начальное положение изображающей точки, соответствующее некоторым начальным условиям при отклонении системы из положения равновесия, Мо, а ее координата на оси у имеет значение j/o- Изображающая точка, двигаясь по фазовой траектории в области I, попадает в точку Mj, расположенную на границе области. Путем подбора соответствующих начальных условий выбираем в области II такую фазовую траекторию, которая проходит через точку М.



Поступая аналогично, выбираем фазовые траектории в областях П1 и IV. Изображающая точка, двигаясь по соответствующим фазовым траекториям, последовательно обойдет точки М2, Мз, М4, расположенные на границах участка, и, наконец, придет в точку, находящуюся на оси у. При завершении цикла координата изображающей точки 1/5 может быть меньше, больше или равна начальной координате. Аналогичные фазовые траектории получим и при других начальных условиях, соответствующих другому начальному положению изображающей точки. Если при любом Уо значение 1/5 меньше г/о, то процесс будет затухающим, а система - устойчивой. При у > г/о система будет неустойчивой. При г/5 = г/о в системе возможны автоколебания.

Для того чтобы выявить, по каким траекториям будет двигаться изображающая точка для данной конкретной системы, необходимо исследовать последовательность точек пересечения траекторий с выбргшной полупрямой при непрерывном изменении начальных условий. Эта последовательность, представленная в виде функции от начальных условий, является точечным преобразованием полупрямой в самое себя. Для определения динамических свойств системы целесообразно построить кривую зависимости координат точек пересечения фазовых траекторий с выбранной полупрямой г/5 от начальных координат изображающей точки у о при различных начальных условиях. Расположение полученной кривой относительно прямой, представляющей зависимость 1/5 = /(г/о), позволяет судить о характере динамического процесса системы. Отметим, что прямая j/5 = г/о характеризует предельный цикл (наличие автоколебаний в системе) и проходит через начало координат под углом 45° к оси абсцисс в координатной системе г/5 и j/q.

На рис. 10.7, б показан примерный вид взаимного расположения кривой 1/5 = f{yo) и прямой 1/5 = J/q ДЛЯ рассматриваемого случая. Точка пересечения характеризуется наличием устойчивого предельного цикла. Во взаимном расположении этих двух кривых можно выделить пять случаев:

1) кривая 1/5 = /(г/о) расположена справа от прямой г/5 = Уо и ее не пересекает. В этом случае процесс будет сходящимся к точке равновесия системы;

2) кривая 1/5 = /(i/o) расположена слева от прямой 1/5 = уо-В этом случае процесс будет расходящимся, а система - неустойчивой;

3) кривая 1/5 = /(г/о) и прямая г/5 = уо пересекаются в одной точке, следовательно, в системе возможен режим автоколебаний, который может быть устойчивым либо неустойчивым;





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [93] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0044