Главная Промышленная автоматика.

< it

танавливаются незатухающие гармонические колебания (рис.10.2, а).

Уравнение (10.5) в случае мнимых корней принимает вид

ln(u +m) = 2(-lnx + C).

Обозначив C = lncoCi и учитывая, что и = у / х , получим

уравнение семейства фазовых траекторий, имеющих вид эллипсов:

j/VAf + xVcf =1

с полуосями coCi и Ci (см. рис.10.2, а). Изображающая точка, движущаяся по часовой стрелке, при незатухающих синусоидальных колебаниях описывает замкнутый контур. Центр эллипса представляет особую точку, в которую стягиваются эллипсы при изменении Су.

При положительном демпфировании (ау > 0) и условии

aj < 400 получим комплексные сопряженные корни. Переходный процесс в этом случае, согласно уравнению (10.3), определяется выражением х = Xq exp(-at) cos at, где a = -ai/2, и имеет затухающий колебательный характер (рис.10.2, б), свойственный устойчивой системе.

Уравнение фазовых траекторий в случае комплексных сопряженных корней находится путем интегрирования уравнения (10.5) и имеет вид

у + ауух + uqX = С ехр(2а / 4ао - af )arctg((2i/ -i- ах) / x4aQ -af),

где С - постоянная интегрирования, зависящая от начального состояния системы. Это выражение дает семейство логарифмических спиралей, отличающихся значением постоянной С. Изображающая точка описывает в плоскости (х, у) закручивающуюся спираль (см. рис.10.2, б). Все спирали сходятся к одной особой точке, называемой устойчивым фокусом (0).

При отрицательном демпфировании (ау < 0) возникают колебания с возрастающей амплитудой, характеризующие неустойчивый процесс (рис.10.2, в). Переходный режим описывается уравнением

X = Xq exp(af) cos cof .

Фазовые траектории в этом случае имеют также вид логарифмических спиралей, но раскручивающихся из начала координат (см. рис.10.2, в). Начало координат представляет особую точку, называемую неустойчивым фокусом.

Если корни характеристического уравнения вещественны и отрицательны, переходный процесс списывается уравнением




Рис.10.3. Особые траектории фазовых портретов нелинейных систем

X = Ci exp Sjt + C2 exp и имеет устойчивый апериодический характер с перерегулированием либо без перерегулирования. Фазовые траектории описываются выражением

(y-xsifi =(y-XS2f, являющимся решением уравнения (10.5) при вещественных корнях. На рис.10.2, г показаны фазовые траектории 1, 2 и 3, соответствующие переходным характеристикам, обозначенным теми же цифрами. Точка, изображающая начало координат, представляет точку равновесия и называется устойчивым узлом, в котором сходятся все фазовые траектории. В этом случае отсутствуют колебания относительно точки равновесия.

При вещественных положительных корнях характеристического уравнения получим неустойчивый апериодический процесс с неограниченным возрастанием во времени координаты х. Переходные характеристики и фазовые траектории этого процесса изображены на рис. 10.2, д. Точка равновесия системы, из которой выходят все фазовые траектории, называется неустойчивым узлом.

При вещественных корнях разных знаков получаем семейство фазовых траекторий, изображенных на рис.10.2, е, которые характеризуют неустойчивый процесс. Здесь начало координат представляет особую точку и называется седлом.

Рассмотренные фазовые портреты линейной системы второго порядка показывают, что по характеру фазовых траекторий можно непосредственно судить об устойчивости движения системы.

Фазовые портреты нелинейных систем. Пусть нелинейная система неустойчива при малых отклонениях, но амплитуда возрастающих ее колебаний ограничивается некоторым значением, обусловленным нелинейностью, и дальше не возрастает. При этом возрастающие колебания перейдут в незатухающие колебания с постоянной амплитудой, что соответствует замкнутой фазовой траектории в фазовой плоскости. Эта замкнутая кривая называется устойчивым предельным циклом. Внутри устойчивого пре-



V(x)

Рис. 10.4. Структурная схема релейной следящей системы

дельного цикла спираль раскручивается от фокуса к замкнутому контуру, а вне его закручивается в направлении контура или от него (рис.10.3, а). В первом случае система устойчива, а во втором неустойчива в большом. Если картина фазовых траекторий имеет устойчивый предельный цикл, исследуемая система обладает устойчивыми автоколебаниями.

Нелинейная система может быть устойчивой, если начальные отклонения не превышают определенного предела (устойчива в малом), и неустойчивой, если отклонения превышают этот предел (неустойчива в большом). В этом случае также будет иметь место замкнутый контур, характеризующий неустойчивый пре дельный цикл (так как изображающая точка не может находиться на нем в постоянном движении). При малых отклонениях (внутри предельного цикла) изображающая точка движется по закручивающейся спирали (10.3, б) к устойчивому фокусу, что характеризует устойчивое движение. При больших отклонениях (за предельным циклом) она будет двигаться по раскручивающейся спирали в бесконечность (неустойчивое движение).

Примеры фазовых портретов нелинейных систем. Если нелинейная система состоит из линейной части и нелинейного элемента с кусочно-линейной характеристикой, то правая часть уравнения, полученного из соотношений (10.1):

dy/dx = Q{x, у)/Р{х, у) = F(x, у) (10.6)

представляет набор нескольких линейных функций, соответствующих отдельным линейным участкам этого элемента. При этом фазовая характеристика разбивается на ряд участков, в пределах которых уравнение (10.6) является линейным и легко интегрируемым. Такой метод интегрирования по участкам называется методом припасовывания (сшивания). Точкам излома кусочно-линейной характеристики на фазовой плоскости соответствуют линии переключения. При пересечении последних фазовые траектории подвергаются излому.

В качестве примера на рис. 10.4 приведена структурная схема релейной следящей системы, состоящая из линейной части

и релейного элемента 4f(x). На структурной схеме - электромеханическая постоянная времени исполнительного двигателя постоянного тока; ф - угол поворота вала исполнительного двигателя; фз - заданное значение угла поворота; х = фз - ф - ошибка следящей системы;





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [91] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0037