Главная Промышленная автоматика.

дифференциальных уравнений с использованием вычислительных машин и специального программного обеспечения. Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений рассмотрены в главе 2. Моделирование позволяет получить переходные процессы, построить фазовый портрет системы, определить устойчивость и возможные автоколебания, оценить показатели качества.

Метод пространства состояний (фазовой плоскости) позволяет определить устойчивость, наличие автоколебательных режимов, их частоту и амплитуду для систем, с достаточной точностью описываемых уравнениями второго порядка. Если порядок уравнений равен трем и более, возможно построение траекторий в проекциях на фазовые плоскости, соответствующие парам переменных состояния.

Метод точечных преобразований, основанный на свойствах фазовых траекторий, позволяет оценить устойчивость движений, соответствующих определенным начальным условиям, и определить возможность автоколебаний.

Прямой метод А.М.Ляпунова позволяет оценить устойчивость нелинейной системы в целом, а метод В.М. Попова дает достаточные условия абсолютной устойчивости.

Метод гармонической линеаризации и гармонического баланса позволяет определить возможность автоколебаний, их частоту, амплитуду и устойчивость.

10.3. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Основные понятия. Состояние любой динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением п-го порядка, может быть определено в любой момент времени значениями п переменных, например регулируемой координаты х и п - 1 ее производных в п-мерном пространстве, называемом фазовым пространством системы. Это состояние характеризуется координатами изображающей точки, откладываемыми по осям фазового пространства. В установившемся режиме системы изображающая точка занимает фиксированное положение и называется особой точкой. В переходном режиме координата х и п - 1 ее производных будут изменяться, обусловливая движение изображающей точки по фазовой траектории. Характер этого движения и положение фазовых траекторий в фазовом пространстве определяются динамическими свойствами системы и начальными условиями. Полная совокупность фазовых траекторий, соответствующая всем возможным начальным условиям, называется фазовым портретом системы. Двухмерное фазовое пространство представляет фазовую плоскость.



Метод фазовой плоскости позволяет исследовать динамические свойства систем, описываемых нелинейными уравнениями первого и второго порядков.

х = Р(х,у>, y = Q{x,y). (10.1)

Системы, содержащие элементы, характеристики которых обладают зонами неоднозначности, не могут быть отображены на обычной фазовой плоскости и требуют для своего отображения многолистных фазовых поверхностей. Движение системы в этом случае описывается уравнениями, подобными (10.1), но каждая из систем уравнений определена не на всей фазовой плоскости, а только на некоторых площадях, которые перекрывают друг друга.

При изображении фазового портрета на плоскости уравнение второго порядка заменяется системой двух уравнений

у = Fix,у), х = у. (10.2)

Исключив из уравнения (10.2) время, получим dy / dx = = F(x,y)/y.

Решение этого нелинейного дифференциального уравнения дает зависимость

У = Пх),

которая определяет фазовую траекторию.

Фазовые портреты линейных систем. Рассмотрим фазовые траектории, определяемые уравнением второго порядка, сначала для линейной системы. Пусть дано дифференциальное уравнение

x + aiX + aQX = 0. (10.3)

Согласно уравнениям (10.2), оно может быть представлено в

виде:

х = у; У = -aiy - QqX . (10.4)

Исключив из уравнений (10.4) время делением одного на другое, получим

dy/dx = -ai - аох/у.

Использовав подстановку

у/х = и, dy /dx = и + xdu/dx ,

проинтегрировав это уравнение, получим

fudu/iu+aiu + ao) = -lnx + C. (10.5)

Результат интегрирования левой части уравнения (10.5) зависит от корней характеристического уравнения + аи + а = О, которые определяются из выражения

sj 2 = -«1 / 2 ± ijai - 4ао / 2.



COCl

Q X

Рис.10.2. Фазовые портреты линейной системы

При отсутствии демпфирования (а = 0) получим чисто

мнимые корни Sj 2 = ±Усо . ю - Uq - af /2 . Решение уравнения (10.3), имеющее вид х = Xq coscot, показывает, что в системе ус-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [90] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0034