Главная Промышленная автоматика.

3. Зак. 2034.

где xit, ja) = A (co)exp;(cof + 9Bb,x(to)) - выходной сигнал, и обычно записывается в виде

Т(уш) = (ю)ехр;ф((о). (2.4)

Здесь А((0) - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ):

А((о) = Авых(т)/Азх(со) = \xit, JGi)\/\u(t, /со); ф((о) - фазочастотная характеристика (ФЧХ):

ф(«) = фвь.х(<0) ~ ф.хС")-

Амплитудно-фазовая частотная характеристика является комплексной переменной и может быть представлена в виде

\¥Цф) = Р(ю) + jQia), где Р((о) - вещественная частотная характеристика (ВЧХ); Q((o) - мнимая частотная характеристика (МЧХ) системы.

По частотной характеристике Wijm) может быть получена переходная характеристика системы hit) с помощью обратного преобразования Фурье:

1 °°

hit) = - u(/ro)W(/(o) ехр jatdm.

В теории автоматического управления при исследовании динамических свойств, главным образом устойчивости, САУ пользуются логарифмическими частотными характеристиками (ЛЧХ). Они широко применяются также при определении структуры и параметров регуляторов, формирующих заданный переходный процесс системы автоматического управления.

Логарифмируя левую и правую части уравнения АФЧХ (2.4), найдем

InWija) = 1пА(ю) + /ф(ю).

Выражения 1пА((о) и ф(ю) представляют соответственно логарифмическую амплитудную (ЛАХ) и логарифмическую фазовую (ЛФХ) характеристики.

Для оценки отношения двух величин принято использовать логарифмическую единицу децибел (дБ). Связь между числом L и числом А дается формулой

L = 201gA.

Например, число А = 10 соответствует 20 дБ.

ЛАХ и ЛФХ представляются в виде графиков в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладывается частота ш в логарифмическом масштабе, а по оси ординат - значения ЛАХ в децибелах и углов ЛФХ в градусах (или радианах) в равномерном масштабе.



2.3. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ САУ

Исследование переходных процессов САУ основывается на использовании дифференциальных или интегральных уравнений, называемых уравнениями динамики. Для непрерывных систем это будут обыкновенные дифференциальные уравнения, а для дискретных систем - разностные уравнения.

При изучении динамических процессов САУ отвлекаются от конкретной физической природы регулируемых величин и устройств, а интересуются лишь математической моделью процессов управления. В основу построения математической модели системы кладется ее структурная схема, состоящая из динамических звеньев. Динамические звенья характеризуются дифференциальными или операторными уравнениями, описывающими физические законы происходящих в них динамических процессов. Одно устройство САУ может быть представлено одним или несколькими динамическими звеньями.

Совокупность полученных дифференциальных уравнений динамических звеньев представляет математическую модель системы и служит для получения дифференциального уравнения системы в целом.

В общем случае дифференциальные уравнения элементов или системы нелинейны. Однако при малых отклонениях координат системы от положения равновесия нелинейные уравнения можно приближенно заменить линейными. Такой процесс замены называется линеаризацией дифференциальных уравнений.

Линеаризация методом малых отклонений производится с помощью разложения нелинейных функций многих переменных в ряды Тейлора по степеням малых отклонений этих переменных, взятых в окрестности их значений, соответствующих установившемуся режиму.

Пусть математическая модель САУ описывается системой дифференциальных уравнений

Xi = fi{xi, Х2.....л:„, u{t)), j = 1,2, п, (2.5)

где Xi - координаты системы (фазовые координаты, переменные состояния): u{t) - входной сигнал.

Пространство с координатами (лг, Х2, х) называется пространством состояний (фазовым пространством). При движении системы конец вектора х = (xi, Х2, х) описывает в пространстве состояний траекторию, называемую фазовой траекторией. Для уравнения (2.5) применяется также векторная запись:

X = f(x, u{t)),

где / = (/i, /2.....fn) - вектор правых частей, являющийся век

тором фазовой скорости.



Ах, = fiixio, Х20, .... xQ, и{0)) +

дх-)

+ Fi{xi, Х2, ..

Au{t)

О ""•10

•. u(t)).

(2.6)

i, j = 1, 2, n, -частные производные, вычисленные

в точке установившегося режима; Fi(xi, Х2, х„, u{t)) -функции, не содержащие членов ниже второго порядка малости.

Вычитая из системы (2.6) систему уравнений установившегося режима fiixio, Х20, x„o, Uq) = О и пренебрегая Fi{xi, х2.....

Хп.у "()). получаем линейную систему уравнений в отклонениях с постоянными коэффициентами, представляющую уравнения первого приближения:

Ах, = Y.ijAXj + biAu, i = 1, 2,п, 7=1

Векторно-матричное уравнение имеет вид Ах = АЛх + ВАи,

где А - матрица пхп с элементами =

(матрица Якоби).

Линейная теория автоматического управления имеет важное значение для приближенного исследования САУ. Поэтому при дальнейшем изложении материала основное внимание будет уделено линейной теории САУ. Что касается особенностей процессов в нелинейных и импульсных САУ, которые не могут быть выявлены с помощью линейной теории, то они будут рассмотрены особо.

Если нелинейные функции fi(Xi, Х2, .... х, u(t)) сходятся в некоторой Н-окрестности установившегося режима Xiq = const, то они могут быть разложены в ряд Тейлора.

Положив Xi = XiQ + AXi, где Axi - малые отклонения i-й координаты, уравнения (2.5) можно записать в виде





0 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0042