Главная Промышленная автоматика.

>11

412 •

Vi„

"0

"fc =

Ч1п2

Элементы матрицы Г = (Ф - Ф)Фм вычисляются по формуле п

У а = Ё(ф1/м -фг; )фм;7 • Для сигнала управления справедливы уравнения

(8.40)

"Vlnbuk = ZyilXi,k-l 1=1

W2nbUk = Tl2lXl,k-i; 1=1

(8.41)

WnnbUk = ZynlXi,k-l-

Все они должны давать одно и то же выражение щ, что возможно лишь при пропорциональности строк матрицы Г. Иными словами, матрица Г должна иметь ранг, равный единице, чтобы задача синтеза была разрешима. Достаточным условием для этого является совпадение всех строк матриц А и А„, кроме той строки, которой в уравнении (8.35) соответствует наличие сигнала управления. В рассматриваемом случае, учитывая структуру матрицы В, следует иметь отличие А от А только в последней

строке. Тогда, поскольку Ф - Ф = Е + А„т + ----1- ... - Е - Ах ~

Значение получается к концу интервала, на котором действует щ. Для формирования щ может быть использована информация о векторе состояния xi. Считая, что для замкнутой системы выполняется соотношение х = ФмЛС;;-! (т.е. ее импульсная переходная матрица точно совпадает с требуемой), из выражения (8.44) получим

4Buk = (Ф - Ф)ФмА-1 • (8.39)

Для объекта с одним входом матрица В содержит один ненулевой элемент в последней строке. Поэтому



.2.2 и-лЧ

- - - ... = СА„ - А)х + --- + получим, что

2! V м ; 2!

гапк(Фм - Ф) = гапк(Ам - А) = 1. Поэтому гапкГ = гапк(Фм - Ф) = 1. Отсюда следует, что сигнал управления можно определить, пользуясь любым из уравнений (8.41). Наибольшая точность при вычислениях получается при использовании последнего уравнения:

"ft = ZArr,*-l. (8.42)

ft, (8.43)

есть коэффициент усиления в контуре обратной связи по переменной х, г = 1, 2.....п.

Таким образом, методика определения желаемой матрицы разностных уравнений замкнутой системы Ф заключается в определении Ajj, для чего достаточно определить только элементы a„„ последней строки этой матрицы, причем так, чтобы характеристический полином АеЦЕр - А„) имел желаемое распределение корней. Элементы матриц Ф и Т вычисляются изложенными в литературе методами. На основании выражения (8.40) вычисляется матрица Г и по формулам (8.43) определяются коэффициенты обратных связей ft,.

Пример 8.4. Требуется выполнить синтез цифровой системы управления положением. Дифференциальные уравнения объекта имеют вид:

TXi = Х2;

Г„Х2=з; (8.44)

Tixa =-Х2 -Хз +Pn"fe-

Здесь Ги = cip-, с = е/ю; ip - передаточное отношение редуктора; Т„, Ti - электромеханическая и электромагнитная постоянные времени, Рд - коэффициент усиления преобразователя; xj - угол поворота вала, Х2 = е - ЭДС двигателя; Хз = iRo; i - ток; До - сопротивление якорной цепи; - цифровой сигнал управления в конце ft-ro интервала. Требуемые динамические свойства определяются заданной добротностью по скорости D,. В случае распределения корней характеристического уравнения непрерывной

замкнутой системы по Баттерворту pi2 = 0,5Н(-1 ± / 3 ), рз = -Н;



О -

«м2

Характеристический полином матрицы А необходимо приравнять к желаемому:

det(£p - А„) = р + 2Яр2 + 2нр + .

Отсюда определяются требуемые значения ах, а„2, "мЗ-

p4p-aa)--"f = p 2Нр +2Нр + н\

ИМ м

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем:

а„1 = -НТТ; а„2 = -2TH; а„з = -2Я.

Для значений параметров Ги = 10 В/рад, Гц = 0,02 с, Г} = = 0,005 с, Рп = 1 при Z)„ = 50 с"! получим: Н = 100 с; a„i = = 0,2106; = 4оо, а„з = -200.

Для значения интервала дискретности Т = 0,001 с. Импульсные переходные матрицы объекта и замкнутой системы равны:

Фм =

1,0 0,998 0,234 10 О 0,995 0,452 10 О -0.181 0,814

0,997 10" 0,990 -0,371

0,234 10-5 0,452 10-1 0,810

1,0 -0,467 10 -0,18110

Переходная матрица объекта Т(Т) имеет последний элемент V33 = 0,903 10-; b = Рп/Г = 200 с-. Определим элементы последней строки матрицы Г на основании выражения (8.40):

Г31 =(фм31 -Ф31)фм11 +(фм32 -Ф32)фм21 +

+ (фмзз -Фзз)Фм31 * -179;

Y32 =(фм31 -Ф31)фм12 +(фм32 -Фз2)фм22 + + (Фмзз - Фзз )фм32 * -0,207;

модуль корней выбирается равным Н = 2Da,. Матрица А уравнений объекта (8.35) и матрица непрерывной моделизм имеют вид:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [84] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0036