Главная Промышленная автоматика.

2.2. ПОНЯТИЕ О СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ

ХАРАКТЕРИСТИКАХ САУ

Оценка качества функционирования систем автоматического управления базируется на исследовании их статических и динамических характеристик.

Статическими называются характеристики, отображающие связь между входными воздействиями и выходными координатами в установившимся режиме.

Для систем с одним входом и одним выходом существует одна статическая харгштеристика, представляющая зависимость выходной величины от входной в установившемся режиме:

где р - коэффициент усиления. Для линейных систем р = const, для нелинейных р = f{u).

Системы с несколькими входами характеризуются семействами статических характеристик. Каждое такое семейство представляет зависимость выходной величины от входной, поступающей на данный вход при параметрическом изменений воздействия, поступающего по другому входу и фиксированного на всех других входах. Если система имеет п входов, то для семейства статических характеристик по i-му входу при параметрическом изменении воздействия на ;-м входе можно записать:

уст ~ PyiycTJ

где UjycT = var; Uj = а; Ur = const; г = 1, 2, n; г i; г j; a - параметр.

Динамическими называются характеристики, отображающие переходный процесс в системе при различных формах воздействий. Они могут быть получены на базе передаточной функции системы.

Передаточной функцией (п.ф.) называется отношение операторных изображений (по Лапласу) выходной и входной величин при нулевых начальных условиях слева от нуля. Если система имеет один вход, то п.ф. определяется по формуле

К(р) = х(р)/и(р), (2.1)

где х{р), и{р) - операторные изображения приращений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях слева.

При наличии нескольких входов п.ф. вида (2.1) может быть получена по каждому входному воздействию в предположении, что приращения входных воздействий по остальным входам равны нулю.



hit) =

2 ст-/ш Р

В общем случае

h(t) = x(t) + xit), где x{t) - вынужденная составляющая, которая при единичном ступенчатом воздействии равна коэффициенту усиления системы; св(*) - свободная составляющая, характеризующая процесс перехода системы в новое состояние. В устойчивых системах хЦ) с течением времени стремится к нулю.

Если входное воздействие представляет единичную импульсную функцию, то получаемый при этом процесс называется импульсной переходной функцией:

g{t)=L-[K{p]]= I К{р)еРЫр;

Последняя формула показывает, что импульсная переходная функция является производной от переходной функции. Справедливо и обратное соотношение:

h{t) = ] g{t)dt. О

При входном воздействии произвольной формы uit) переходный процесс в системе может быть определен по формуле xit) = L-Hx(p)] = L-Hu(p)K(p)].

п.ф. является правильной рациональной дробью вида

Р = -п-1-

апР + "n-iP + - + "о

где а, bi - коэффициенты, выражающиеся через параметры системы; п > т. Нули и полюсы п.ф. могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряженными числами.

Если в качестве входного воздействия используется единичная ступенчатая функция, то получаемый при этом переходный процесс представляет переходную функцию. Эта функция является зависимостью выходной величины от времени и выражается формулой

-к{р) = 1 к{рУ*ар.




Рис.2.3. Замена произвольного сигнала последовательностью прямоугольных импульсов

Входное воздействие и(р) может рассматриваться как последовательность импульсов длительностью т, амплитуда которых равна щ = и(кх), где k - порядковый номер интервала (рис.2.3).

Для h-vo импульса, сдвинутого относительно начала координат на интервал kx, переходный процесс можно получить умножением импульсной переходной функции на величину импульса (площадь):

Axk(t) « g(hi)u{t - hi)i. Переходный процесс при воздействии u{t) может рассматриваться как результат суммирования реакций системы на последовательность импульсов u{t - ki)i. Таким образом,

В пределе при т -> получим

x{t)=]g[x)u[t -)d (2.2)

x{t) = \g{t - Э)ц(э)сгЭ. (2.3)

Интегралы вида (2.2) и (2.3) называются интегралом. Дюамеля или интегралом свертки функций g(t) и u{t).

При оценке динамических свойств системы широкое распространение получили частотные характеристики. Они ха-р£1ктеризуют реакцию системы на гармоническое воздействие вида

"(О = „ ((D)expj((Ot + ф„ ((О)) при изменении частоты ю от нуля до бесконечности. Частотные характеристики обычно используются для исследования устойчивости, а также для построения переходного процесса САУ.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) представляет отношение комплексных выражений Wija) = x{t, ja)/u(t, ja).





0 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0036