Главная Промышленная автоматика.

из которого следует

(ао +ai2- + ... + а„2-")л:(2) = (&о + ... + бз"" )u(2).

Переходя к оригиналу и считая, что x(z) является 2-изображением х, а и(2) - 2-изображением Uji, получим

Xk = -(bo"ft +biUk-i + .- + b„Uk n -aiXk-i - ...-aXk-n)-«0

Последнее выражение позволяет рассчитывать выходную величину по значениям входной величины, заданной в дискретные моменты времени.

Пример 8.2. Пусть формирующее звено описывается ПФ (8.1), а непрерывная часть системы является идеальным интегрирующим звеном, т.е. Jir„(p) = k/p. Тогда

K{z) = Z

-(1-ехр(- рТ))

Учитывая, что ехр(рТ) = 2, запишем

kiz)(l-z-)z

Используя таблицы 2-преобразования, получаем

\kTz

ПФ замкнутой системы

Ф(2) =

x{z) K{z)

u{z) 1 + K(z) 1 з-1+ЙГ2-1 Отсюда ползгчается 2-изображение выходной величины x(z) = kTz-uiz)+ z~ {l-kT)x(z) и оригинал выходной величины

Xk =kTu i +{l-kT)xki.

8.5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ «

Частотная характеристика импульсной системы определяется реакцией системы на гармоническое воздействие и получается из дискретной передаточной функции K{z, е) путем замены в выражении 2 = ехр{рТ) р на ja.



Выражение частотной характеристики импульсной системы может быть представлено аналогично АФЧХ линейной системы в виде

KUa, б) = Koia, е) ехрОф(а), е)). (8.20)

Здесь Ко(т, е) - амплитудная, ф(ш, е) - фазовая частотная характеристика. Модуль частотной характеристики может быть вычислен по формуле

Ко (со, е) = л/р2((о,е) + д2(ю,е).

где Р(со, е), Q(co, е) - вещественная и мнимая части частотной характеристики, а ее фаза выражается соотношением

ф(.,е)=агс1еГ1;

Особенность частотных характеристик импульсных систем заключается в их периодичности относительно частоты. В самом деле, выражение z = expijaT) является периодической функцией частоты с периодом 2п/Т. Очевидно, что любой дискретной передаточной функции импульсной системы K(z, е) соответствует частотная характеристика, являющаяся периодической функцией частоты с тем же периодом. Таким образом, для определения частотных свойств импульсной системы достаточно построить частотные характеристики на интервале со е [0,2я/7].

6.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ САУ

Импульсная САУ в замкнутом состоянии устойчива в том случае, если все полюсы ее п.ф. имеют отрицательные вещественные части или, что то же самое, если они лежат в левой части полосы -п < Imq < я комплексной плоскости. Об устойчивости разомкнутой импульсной системы можно судить по полюсам п.ф., ее приведенной непрерывной части. Если приведенная непрерывная часть устойчива, то разомкнутая система будет устойчивой. Так как частотные характеристики импульсной системы аналогичны АФХ непрерывных систем, то и здесь для исследования устойчивости используется критерий Найквиста.

Согласно критерию Найквиста, замкнутая импульсная система устойчива, если частотная характеристика К* {jm, 0) устойчивой разомкнутой системы не охватывает точку (-1; ;0) при изменении со от О до со.




Рис.8.3. Частотная характеристика разомкн)гтой импульсной системы

Другой метод исследования основан на выделении областей устойчивости в плоскости комплексной величины z путем отображения линейной оси плоскости р (рис.8.4, а) на плоскость 2. Для этой цели необходимо сделать подстановку р = ju) в z-преобразование и менять затем частоту со в пределах от -оо до +оо. Таким образом, получаем z = ехр(рГ) = ехр(/со7). При изменении частоты в этих пределах в плоскости z (рис.8.4, б) получаем окружность единичного радиуса, ограничивающую область устойчивости.


Im /}

u>

Рис.8.4. Области устойчивости на плоскостях переменных р, г, w

Чтобы замкнутая импульсная система была устойчивой при неустойчивой приведенной непрерывной части, необходимо, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов частотной характеристики K*{ja,0) отрезка действительной оси (-00, +1) была равна s/2 (s - число полюсов с положительной действительной частью п.ф. разомкнутой САУ).

На рис.8.3 изображена частотная характеристика разомкнутой импульсной системы

К* {]Ъ,0). Там же нанесена

точка (-1, /0), лежащая вне частотной характеристики, и проведена штриховая окружность для определения запаса устойчивости по фазе ф(сох) - я. Величина h характеризует запас устойчивости по модулю.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [78] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0036