Главная Промышленная автоматика.

x{tQ +At) = x{to) +

At + 02{At) = x(to) +

ydt Jtto

+ f{x{tQ),u{tQ ))At + 02{At), при сделанном предположении относительно гладкости функции можем написать:

i=A dXi )

+ 03(At). (6.49)

Подставим выражение (6.49) в (6.48), при этом O(x(to)) можно вынести за знак min. В результате получим

Ф{x{tQ +At)) = Ф

fi{x{to ),u(to ))At

/o(x(to ),u(to))At+ I i=l

A(x(to ),u(tQ ))At +

Jx=Xo

+ O3 (At)) = 0.

Так как в качестве начального состояния можно принять любое текущее состояние x(t), то

jfQ{x,u)dt= jfo{x,u)dt+ jfo{x,u]dt.

to *0 to+M

Для малых значений At путем разложения в ряд Тейлора первого члена правой части в окрестности точки можем написать:

*f Ч

jfo {x,u)dt = /о {xitQ ),u{tQ ))At + Oi (At)+ jfo ix,u)dt,

to to+t

где Oi(At) - остаточный член ряда. Тогда выражение (6.47) примет вид

Ф(хо) = тт /о(х(<о),и(о ))At-Hmin \fQ(x,u)dt +Oi[At).

Знак min перед интегралом внутри скобок ставится потому, что, согласно принципу Беллмана, остающаяся часть траектории также должна быть оптимальной. Второе слагаемое в скобах представляет Ф(д:(о + At)). Поэтому

Ф{х(*о )) = min(/o {x[tQ ), u{tQ ))At + Фix{tQ + At))) + Oi (At). (6.48)

Разложим аргумент функции Ф(x(tQ + At)) в ряд Тейлора. Учитывая, что



= 0. (6.50)

mm /о(а:,ц)+Х - fti.u) ueU{ i=l 8Xi

Если минимум выражения (6.50) достигается при значениях и, лежащих внутри области U, условием минимума является равенство нулю производной минимизируемой функции. Для этого случая вместо выражения (6.50) можно написать (в векторной форме):

dfo(x,u) дФ{х)8Г{х,и) ди дх ди

fo{x,u)f{x,u) = 0.

Исключив из этих уравнений дФ{х)/8х, получим

ч9/о , / .df(x,u)

f{x,u) =fo(x,u)---

ди ди

Аналитическое конструирование регуляторов непрерывных САУ. В основу аналитического конструирования регуляторов, предложенного А.М.Лётовым, положено функциональное уравнение Беллмана (6.50). Задача конструирования состоит в том, чтобы среди допустимых функций управления найти ту, которая доставляет минимум функционалу качества. В большинстве случаев оптимизирующий функционал представляет интегральный квадратичный критерий

J= \fo{x,u)dt, о

где fo(x, и) - знакоопределенная положительная функция в квадратичной форме.

Решение задачи базируется на методе Ляпунова, согласно которому система асимптотически устойчива, если для нее может быть найдена функция Ляпунова, т.е. знакоопределенная положительная функция, производная которой есть знакоопределенная отрицательная функция. При этом определенно положительной называется функция координат системы х, которая больше нуля при X О и может обращаться в нуль при х = 0.

Полагая, что на основании уравнения (6.50) определено оптимальное управление, можем записать в векторной форме:

дФ . ёФ . I ч а; = -= Ф = -/о(х,и . дх dt

Поскольку в качестве foix, и) принята определенно положительная функция, то, согласно определению, функция Ф будет

Переходя к пределу и учитывая, что

liшii=o,

окончательно получим



функцией Ляпунова. Общие методы для нахождения функции Ляпунова отсутствуют. В системах с линейными объектами в качестве функции Ляпунова целесообразно использовать определенно положительную квадратичную форму

Ф = У = xQx.

или в другом виде

* = = ZZZijtj- (6.51)

Допустим, что дан объект управления

х = Ах + Ви, (6.52)

в котором А, В - постоянные матрицы; и - скалярная функция. Представим функционал качества в виде

J =]i{x) + cu)dt. (6.53)

В формуле (6.53) W{x) = хМ - функция координат системы; Л - матрица весовых множителей; с - постоянный коэффициент.

Запишем функциональное уравнение Беллмана в виде

min{w[x) + cu+[Ах + Ви)\ = 0. (6.54)

I дх )

Подставив частные производные функции Ляпунова (6.54)

+ 1)

по координатам в уравнение (6.54), получим---- нелинеи-

ных уравнений, из которых определяются коэффициенты квадратичной формы (6.51). После этого окончательно по уравнению (6.54) определяется искомое оптимальное управление, представляющее функцию координат системы:

* "

и = и {х)= YkiXi.

Пример 6.4. Рассмотрим задачу оптимального управления системой автоматической стабилизации скорости электродвигателя постоянного тока, питаемого от вентильного преобразователя, структурная схема которого приведена на рис.6.21.

К объекту управления (обведен штриховой линией) приложены задающее воздействие и, управление и и внешнее возмущение F = IcHq (Ic - ток статической нагрузки; Ло - сопротивление главной цепи).

Уравнения объекта при х = 0:

Х2 = «21 (- xi -Х2 + ); (6.55)

ig =-033X3 +bu.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [55] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0037