Главная Промышленная автоматика.

Принцип максимума при ограниченных фазовых координатах. Пусть ставится задача перевода объекта из начального состояния в конечное, характеризуемое вектором xoiXyQ, Х20, х„о), в конечное (заданное) состояние XflXyf, xf, xf) с помощью управления и, ограниченного некоторой областью допустимых 5шравлений J7, но при этом вводится дополнительное условие, состоящее в том, что изображающая точка дг не должна выходить за пределы области G допустимых состояний объекта. Другими словами, в рассматриваемой задаче ограниченными являются не только управляющие воздействия, но и фазовые координаты системы.

Необходимость в ограничении фазовых координат может быть вызвана различными причинами и чаще всего связана с требованием повышения надежности работы объекта управления. В САУ электроприводов наиболее существенными являются ограничения скорости, тока, производной тока по времени и в некоторых случаях ЭДС силового преобразователя. Ограничения фазовых координат могут быть условными и безусловными. Условными считаются ограничения, принимаемые для заданных условий, причем в процессе работы возможны кратковременные нарушения этих ограничений. Примером условного ограничения может служить ограничение тока двигателя по условиям нагрева. Безусловными являются ограничения, вызванные принципом действия или конструкцией объекта, которые ни при каких условиях не могут быть преодолены. Например, ЭДС вентильного преобразователя имеет наибольшее значение при угле регулирования, равном нулю, и никакое изменение входного сигнала не может привести к ее дальнейшему 5шеличению.

При решении задачи оптимального управления все ограничения рассматриваются как условные, которые при оптимальном управлении переводятся в ранг безусловных (строго фиксированных).

Как и в исходном принципе максимума, необходимым условием оптимальности управления является равенство функции Гамильтона ее наибольшему значению (максимуму): Н = {f{x(t), u{t)); = sup Д- = 0.

При этом остается в силе равенство

Xi = = fi {х,и), i = 0,1.....п.

дц)1

Существенным отличием от исходного принципа максимума является необходимость рассмотрения отдельных участков фазовых траекторий, для которых определение сопряженных функ-



ций оказывается различным. Для участков, лежащих целиком в открытом ядре области (за исключением граничных точек),

а для участков, целиком лежащих на поверхности g, ограничивающей область G допустимых состояний объектов по координате

oxi aXi

Здесь Я.(0 - некоторая функция времени (в частном случае она может быть постоянной), имеющая характер множителя Лагранжа, при этом dX/dt = 0. Вектор Р{х, и) представляет составляющую скорости изображающей точки (фазовой скорости), нормальную к поверхности g:

Р{х,и)=1-П{х,и).

При движении изображающей точки по ограничивающей поверхности ее скорость направлена по касательной к этой поверхности и

Р(х, и) = 0. (6.30)

В точках стыка отдельных участков фазовой траектории должно выполняться одно из условий скачка:

v(/"(t)= {T) + [xgTeLdg{x{x));

\\i~{z) + [X grad g{x(T)) = 0. В этих равенствах т - время, соответствующее точке стыка; ф""(т), - значения сопряженного вектора при t -> т справа и

слева от точки т; ц - действительное число, в общем случае не равное нулю.

Если движение происходит по ребру, образованному k ограничивающими поверхностями, то сопряженная система строится по правилу

v = -+ Hiit)-z-•

dxi ji dXi

При ограниченных фазовых координатах теорема об п интервалах оказывается в общем случае неприменимой. Оптимальное зшравление, найденное на основании принципа максимума, при ограниченных координатах представляет некоторую кусочно-гладкую функцию времени, которая характеризуется определен-



ным числом скачков, рг15ным числу скачков старшей производной выходной величины. Это число скачков можно определить по формуле

т = (п-г+ 1)(г -k + 1)...(у -q + l)(q + D, (6-31) где п > г > k > ... > j > q; п - порядок дифференциального уравнения объекта; г, у, к, q - порядок дифференциальных уравнений, связывающих соответствующую ограниченную координату с управляемой (выходной) величиной. Найденное по этой формуле число представляет максимальное число скачков управления, получаемых в случае, если все ограниченные координаты достигают поочередно своих предельных значений.

Пример 6.3. Найдем оптимальное по быстродействию управление для случая разгона электродвигателя постоянного тока вхолостую. Структурная схема объекта управления приведена на рис.6.16. Параметры двигателя: = 0,1 с; Т = 0,02 с; ЭДС двигателя, соответствующая заданной скорости, бу = 200 В. Максимальное напряжение на входе безынерционного преобразователя = 5 В. Коэффициент усиления преобразователя р = 100. Максимальная ЭДС преобразователя вдт = Р"т = 100-5 = 500 В. Относительное значение установившейся ЭДС двигателя eje = = 200/500 = 0,4. Номинальный ток двигателя /д = 15 А.

<8ь

Тр + 1

Рис.6.16. Структурная схема объекта с безынерционным преобразователем

Уравнения объекта управления (при возмущающем воздействии, равном нулю) можно записать в виде:

где в качестве фазовых координат приняты ЭДС xj = е и падение напряжения в главной цепи Х2 = iRo.

Введем ограничение тока предельным значением = 1.677jj = = 1,6715 = 25 А или kal < Х2т = Imo = 25-2 = 50 В. Тогда л = 2, r = k=j = q = l.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [51] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0038