Главная Промышленная автоматика.


Рис.6.15. Фазовые траектории

Введем дополнительную координату

Xo{t)= lfo{x,u)dt, О

для которой

Xo=fo{x,u). (6.23)

Присоединим уравнение (6.23) к системе уравнений (6.22). Тогда получим систему из п + 1 дифференциальных уравнений, которую можно рассматривать как векторное уравнение:

X = f{x,u).

Здесь X VL f - (п + 1)-мерные векторы:

x = [xq,Xi.....x„ );

f{x,u) = {xQ,Xi.....Хп).

Функционал j = xq{tf) = представляет конечное значение координаты ЛГо, и, следовательно, для оптимизации системы необходимо найти управление и е U, при котором конечное значение координаты ЛГо имеет наименьшее (наибольшее) значение.

Геометрическая интерпретация этой задачи состоит в следующем. Допустим, что система второго порядка должна быть переведена из начального положения А (рис.6.15) в конечное В. При некотором управлении u(t) фазовой траекторией в пространстве лг(лГ1, Хг) будет кривая АВ. В (п + 1)-мерном (трехмерном) пространстве x{xq , Xl, Х2) фазовая траектория представляет кривую АС, прочерчиваемую концом вектора x{t). Отрезок ВС на прямой П, проведенной из точки В параллельно оси xq, есть значение критерия j. Управление оптимально, если этот отрезок имеет наименьшее возможное значение. Следовательно, задача минимизации функционала качества может быть сведена к минимизации дополнительной фазовой координаты.

При доказательстве принципа максимума используется не обычная, а так называемая игольчатая вариация функции jmpaa-ления. Приращение функционала качества при этом бесконечно



малое, и обращается оно в нуль, если вариация рассматривается относительно оптимального управления.

Помимо основной системы уравнений (6.22) вводится система сопряженных уравнений для вспомогательных переменных ЧО Ч*!» ••-> Ч*?! в следующем виде:

п 8fj{x,u) = - IV i -. i = 1. 2.....п. (6.24)

Далее составляется функция Гамильтона:

Н = Zifiix.u). (6.25)

Выраженшя, определяющие изображающий вектор х и сопряженный веистор Ц1 , в гамильтоновой (канонической) форме на основании уравнений (6.24) и (6.15) имеют вид:

i = ~\ = -~\ i = 0,1.....п. (6.26)

5v/i Bxi

Принцип максимума может быть сформулирован в следующем виде: для -того чтобы управление и() е С/ и соответствующая ему траектория! x(t) была оптимальной, необходимо, чтобы:

1) существовала непрерывная ненулевая (п + 1)-мерная вектор-функция Ч(/(0=(ч0>Ч1.....Vn) удовлетворяющая системе

уравнений (6.266);

2) функщия Н, представляющая скалярное произведение

векторов (j) и / , должна на интервале Q < t < tf быть равной верхней границе возможных значений Н:

H = {{t); f{x,u)) = supH; (6.27)

3) в моме ит времени t = tf выполнялись соотношения:

xVo{tf)<0; (6.28)

supH{ц>{tf)Jitf])=0. (6.29)

При этош оказывается, что при выполнении условий 1 и 2 функции \\Iq и supH являются постоянными для любого момента времени О < t < tf.

Из принщипа максимума следует, что оптимальное управление представля1ет в общем случае кусочно-непрерывную функцию времени u(t), имеющую некоторое число разрывов I рода (скачков).

Принцип максимума позволяет достаточно просто найти выражение оптимального управления для отдельных участков



движения. Однако для полного определения управления необходимо еще найти границы участков, на которых имеют место скачки (переключения) управления. Эта часть задачи является наиболее сложной. Она решается путем построения сопряженных функций и использования условий (6.27)-(6.29).

Необходимое количество переключений управления в системе с неограниченными фазовыми координатами зависит от вида корней характеристического уравнения системы (6.22). Для случая отрицательных вещественных корней справедлива доказанная А.А.Фельдбаумом теорема об п интервалах. Согласно этой теореме, количество интервалов (участков) движения, на которых оптимальное управление непрерывно, должно быть не больше п, где п - порядок системы дифференциальных уравнений объекта (6.22).

В случаях комплексных корней число интервалов может быть сколь угодно большим, и тогда число интервалов определяется подбором. Задаются некоторым числом интервалов и производят исследование движения при оптимальном управлении. Если в результате исследования выясняется, что выполнение граничных условий и условий принципа максимума невозможно, то задаются другим числом интервалов.

Аналитическое выражение оптимального управления с указанием условий, при которых должны происходить переключения управления, называется синтезирующей функцией.

Для исследования движения объекта и определения условий переключения управления часто пользуются построением фазовой траектории изображающего вектора. Для последнего участка движения, фазовая траектория которого ведет в начало координат, управление можно считать заданным. Решая систему уравнений объекта для отклонений от заданных значений в попятном времени т и затем исключая время, можно построить зависимость между координатами, называемую линией переключения. Каждая точка этой линии определяет сочетание фазовых координат в процессе движения на завершающем участке полной фазовой траектории. При различных начальных условиях движение будет происходить по различным траекториям, но во всех случаях оно завершается интервалом, на котором фазовая траектория совпадает с некоторым отрезком линии переключения.

Исследование в фазовом пространстве особенно наглядно для объектов с двумя фазовыми координатами. В этом случае фазовое пространство вырождается в фазовую плоскость и все построения значительно 5шрощаются.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [50] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0036