Главная Промышленная автоматика.

<2 < оо

что по данным измерения y(t) и u(t) на можно определить вектор переменных со-

вует такое ty, ty < интервале ty < t к стояния x{ti).

Для полной наблюдаемости линейного объекта (6.16), (6.21) необходимо и достаточно, чтобы матрица наблюдаемости N имела ранг п

N = [СЛе ... (А-)"-1С]. Пример 6.2. Проверить управляемость и наблюдаемость объекта, описываемого уравнениями:

xi =aiixi -hai2X2 -hbiu;

2 =«211 +«222 +2"; y = CiXi -I-C2X2.

Учитывая, что

anh + 0122

>1 + 222. Составим матрицу управляемости:

bi ацЬу + ах2&2

L*2 "211 + "222. Ранг матрицы равен порядку наибольшего неравного нулю ее определителя. В общем случае при ненулевых параметрах, входящих в эту матрицу, ее ранг равен двум, следовательно, объект вполне управляем. Рассмотрим случаи неполной управляемости. Они имеют место при обра-

0-11 «12

Л"

, АВ =

.«21 "22.

Рис.6.12. Структура объекта при неполной управляемости

Для построения замкнутой системы на основании выражения для оптимального управления u(xi, Х2, .... х„, u3) необходимо измерять с помощью датчиков переменные состояния Ху, х, х. Однако существуют объекты, у которых ряд переменных состояния недоступен для непосредственного измерения, или же их измерение затруднено. Для таких объектов желательно определить переменные состояния, недоступные для измерения, косвенным образом, на основании измерения выходной величины объекта:

у = Сх + Du. (6.21)

Это возможно, если объект (6.16), (6.21) обладает свойством наблюдаемости.

Объект называется полностью наблюдаемым, если сущест-



получим

L<2

«121 +0222.

«21

Рис.6.13. Структура объекта прн неполной наблюдаемости

В общем случае при ненулевых параметрах rankN = 2 и, следовательно, объект вполне наблюдаем. Случаи неполной наблюдаемости имеют место при: = Сг = О, т.е. когда выход отсутствует, при С2 = О, ai2 = О, что соответствует структуре рис.6.13, и при Ci = О, 021 = 0. В двух последних случаях наблюдаемыми являются подсистемы первого порядка, описываемые переменными соответственно Xi и Х2.

6.9. ПРИНЦИП МАКСИМУМА

Предварительные замечания. Принцип максимума, сформулированный в 1953 г. Л.С.Понтрягиным, является развитием метода вариационного исчисления для отыскания оптимального

щении в нуль одной из строк или столбцов матрицы у: случай bi = О, 2 = О соответствует отсутствию управляющих входов объекта, поэтому он тривиален. При Ь\ = О, аг = О rankj/ =1 - в этом случае объект имеет структуру, представленную на рис.6.12. Управляемая подсистема, имеющая первый порядок, описывается переменной Х2- Аналогичная структура получается при 2 = О, 021 = 0> но тогда управляемой является подсистема JCi.

Для проверки наблюдаемости запишем матрицу наблюдаемости. Учитывая, что

"aiici +a2iC2 Laiaci -(-0222 J




ГО имеют длину 2Uim, 2U2m, Зцд. в случае

-"l+"2 +"3

ограничения ы = имеем об-

Рис.6.14. Фазовые траектории при переходе системы из начального состояния в конечное

ласть и в виде шара радиусом R.

При движении системы под действием различных управлений получаются различные фазовые траектории в пространстве состояний. Например, объект второго порядка с переменными состояния Ху, Х2 требуется переместить из начального положения Xq= (xqi, 02) в конечное положение XfXyf, X2f). При различных вариантах управления "а(0. "ь(0. "е(0 фазовые траектории имеют вид, показанный на рис.6.14. При этом функционал

J=\fo{x,u)dt О

будет принимать на каждой траектории определенное значение. Необходимо найти такое управление из числа допустимых, чтобы критерий принял наименьшее значение.

Различают задачи оптимального управления с закрепленными концами, когда Xq, Xf заданы, и с подвижными концами, когда Xq и Xf варьируются. Если время процесса tf - tQ задано, имеем задачу с закрепленным временем, а если оно может принимать различные значения, - со свободным временем.

Принцип максимума при отсутствии ограничений на фазовые координаты. Пусть движение объекта описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями в виде

Xi = fi [ху, Х2 ,Xn,uy,U2.....Ur), 1 = 1. 2,п. (6.22)

управления не только в классе гладких функций, но и среди кусочно-непрерывных функций, лежащих как внутри, так и на границе замкнутой области U допустимых управлений. Область допустимых управлений может иметь различную конфигурацию. Так, если в трехмерном пространстве управлений (uj, U2, ug) заданы ограничения абсолютных значений: uil < щ, l«2l "2т. 1«з1 "Зт> то область и является параллелепипедом, ребра которо-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [49] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0039