Главная Промышленная автоматика.

qyxl +922 +- + inxl =C„.

Первое из уравнений соответствует началу координат, так как Xi = JC2 = ... = д:„ = О, а остальные - поверхностям эллипсоидов, расположенных в фазовом пространстве так, что поверхность, отвечаюпая меньшему С, находится целиком внутри поверхностей, определяемых ббльшими С (рис.5.10).

Если функция W{xi, М Х2, лгз), вычисленная по

выражению (5.27) с учетом уравнения (5.25) и принятой фзгнкции Ля-пзшова, окажется знако-определенной отрицательной, т.е. если dV/dt < О во всех точках исследуемого пространства, кроме начала координат, то изображаюш;ая точка М будет двигаться в сторону уменьшения значения V к началу координат. При этом фазовая траектория будет пересекать эллипсоиды извне внутрь (см. рис.5.10), обусловливая затухание координат Ху, Х2, х. Следовательно, система является асимптотически устойчивой. Если функция W не знакоопределенная, а знакопостоянная, то траектория изображаюпцей точки М не везде будет пересекать поверхности F = С, а может их касаться в тех точках, где обращается в нуль (помимо начала координат).

Пример, 5.1. Порядок исследования устойчивости проследим на примере системы, свободное движение которой описывается уравнениями

±1 = Х2 -Х1Х2;

. „ 2 (5.28)

Х2 =-2xi - Х2Ху .


Рис.5.10. Прямой метод Ляпунова



Выберем функцию Ляпунова в виде квадратичной формы:

V = ах1 + Ъх1,

где а, b - некоторые постоянные числа. Производная этой функции

W = - = 2axiXi + 2bx2X2 • (5.29)

Подставив в выражение (5.29) уравнения (5.28), найдем W = 2axi (Х2 - XiX2)-4bxiX2 - 2&х х =

= -2xX2 {а - 2Ь) - 2x1x1 [а + Ь). Функция W будет знакоопределенной отрицательной, если а = 2Ь; а>0; b > О, (5.30)

при этом функция Ляпунова

V = axf + -

остается знакоопределенной положительной функцией. Таким образом, условия (5.30) являются достаточными условиями устойчивости системы, описываемой уравнениями (5.28).

Применение прямого метода Ляпунова ограничивается тем, что не существует общих правил, позволяющих по виду уравнений системы строить функцию Ляпунова.




Рис.6.1. Показатели качества регулирования

Атах - Дл;(со)

100%,

где ДХщах - максимальное отклонение регулируемой величины; Ах(оо) - установившееся отклонение регулируемой величины.

Допустимое перерегулирование определяется конкретными условиями работы и назначением САУ. Для систем, работающих при задающих воздействиях, обычно допускают = 18...25%. Для систем поддержания заданного значения регулируемой величины, работающих при возмущающих воздействиях, значения могут достигать гораздо больших величин.

Быстродействие, или время регулирования, представляет время, в течение которого отклонение регулируемой величины от Ax{t) превышает некоторое допустимое значение:

Ax{t)-Ax{<») Ах(оо)

100% =

Дх(оо)

100% > 5,

6. КАЧЕСТВО СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И ФОРМИРОВАНИЕ ИХ СТРУКТУР

6.1. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ

в большинстве практических случаев устойчивость не является достаточным условием нормального функционирования системы автоматического управления. В зависимости от заданного технологического режима САУ должна обеспечивать требуемое качество работы установки в переходных режимах, вызванных изменением задающего либо возмущающего воздействия. Качество регулирования принято оценивать следующими основными

показателями: величиной перерегулирования, быстродействием, или временем регулирования, и числом колебаний регулируемой величины за время переходного процесса.

Перерегулированием называется отношение разности между максимальным и установившимся отклонениями регулируемой величины к установившемуся отклонению. На рис.6.1 показано изменение регулируемой величины при ступенчатом воздействии. Перерегулирование





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [41] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0041