Главная Промышленная автоматика.

Таким образом, система оказывается структурно неустойчивой при любых параметрах Гх, Гг, fei, kz, и, для того чтобы сделать ее устойчивой, нужно изменить структурную схему.

Структурная схема рис.5.9, б содержит одно инерционное и два интегрирующих (или астатических) звена. Характеристическое уравнение, соответствующее этому случаю, имеет вид {Tip + l)p +kik2ks =0

IlP + +kik2ks =0. При любых значениях Гх, ki, и A3 условие Гурвица не выполняется, так как

1 О - ГхАхгз < 0. Следовательно, система структурно неустойчива.

На основании схемы рис.5.9, в, в состав которой входят инерционное и колебательное звенья, можем написать: (Гхр + 1)(гр2 + 2Г2Р +1)+ feifea = о

ГхГ/рЗ + (г + 2ГхГ2 )р2 + (Гх -ь 2Г2 )р -ь 1 + Ахз = 0.

При подборе соответствующих параметров можно добиться выполнения критерия устойчивости Гурвица

(Гх + 2Г2 )( + 2Г1Г2 )- ТТ (1 + ftxfe2 ) > 1-

Таким образом, система структурно устойчива.

На основании исследования ряда структур систем автоматического управления были получены признаки структурной устойчивости, которые приводятся в литературе в виде таблиц и условий. Так, в отношении одноконтурных систем могут быть сформулированы следующие условия: для того чтобы одноконтурная система, не содержащая неустойчивых звеньев или содержащая одно такое звено, была структурно устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы: а) система, не имеющая неустойчивых звеньев, содержала не более одного астатического звена, а система, включающая одно неустойчивое звено, вообще не содержала астатических звеньев; б) система, содержащая q консервативных звеньев, имела степень характеристического уравнения больше чем 4q.

А.А.Вороновым приводятся условия структурной устойчивости САУ в следующей форме. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид



W{p) =

fen {TyP + i)n fep + 2rp +

pTl №p + i)n (Г;Р - i)n fep + 2feP + hiuP +1)

где символ Y\ обозначает произведение нескольких однотипных функций вида, соответствующего многочлену, стоящему после символа.

Введем следующие обозначения: п - степень знаменателя; т - степень числителя; v - число нулевых корней знаменателя; t - число вещественных корней знаменателя, расположенных справа от мнимой оси; / - число чисто мнимых, нулевых и комплексных корней знаменателя справа от мнимой оси; г - целая часть дроби 0,5/. Система будет структурно-неустойчивой, если нарушается неравенство m>v + t- lH одно из неравенств, приведенных в табл.5.1.

Таблица 5.1

Неравенство

Четно

Равно нулю

т + п. > 4.Г

Четно

т + п> 4г- 1

Нечетно

ш. + п > 4г - 2

Нечетно

Равно нулю

т + п> 4Lr

Четно

т + п> 4г

Нечетно

т + п > 4ьг + 1

Для частного случая одноконтурной системы без воздействий по производным числитель k = const, m = О и система получается структурно неустойчивой, если нарушается одно из соотношений: V + t < 1 или л > 4г.

5.10. прямой метод исследования устойчивости а.м.ляпунова

Впервые общая теория устойчивости систем была предложена в 1892 г. А.М.Ляпуновым. Он показал, что для некоторого класса задач исследования устойчивости может быть использован прямой метод, который сводится к построению функции Ляпунова, свяванной с дифференциальным ур£1внением системы

Xi = fi {xi,X2.....лг„ ), (5.25)

записанным в отклонениях. Здесь функции fi, /2..... fn произвольны и содержат любого вида нелинейности, но всегда удовлетворяют условию fi = f2 = ... = fn- при Х\ = Х2 = ... = л:„ = О, так как в установившемся режиме все отклонения и их производные



должны быть равны нулю согласно определению понятия этих отклонений.

Функцией Ляпунова называется любая функция

V=ViXi,X2.....х„), (5.26)

тождественно обращающаяся в нуль при Xi = Х2 = = О, если в ней взяты те же переменные Xi, Х2, х„, что и в уравнении (5.25).

Производная от функции Ляпунова (5.26) по времени имеет

dV dV . dV . dV .

- = - X-i +-Xo+...+ -X„.

dt dxi dx2 5x„ "

Подставив сюда производные из уравнения (5.25), получим dV dV , dV , dV , „„

dt dxi 8x2 dXji

Rfufl.....fn - функции on Xl, X2.....x.

Следовательно, выражение (5.27) можно записать в виде

~ =W[xi,X2.....Хп ).

Функция W, так же как и сама функция V, обращается в нуль при 1 = 2 = ... = д:„ = 0. Функция Ляпунова должна быть знакоопределенной в некоторой области, т.е. во всех точках этой области вокруг начала координат сохранять один и тот же знак и нигде не обращаться в нуль, кроме самого начала координат.

Теорема об устойчивости нелинейных систем формулируется следующим образом: если при заданных в форме (5.25) уравнениях системы п-го порядка подобрать такую знакоонределенную функцию Ляпунова V(xi, Х2, х„), чтобы ее производная по времени W(xi, Х2, х„) была знакоопределен ной (или знакопостоянной), но имела знак, противоположный знаку V, то данная система устойчива асимптотически (или неасимптотически ).

Под знакопостоянной понимают такую функцию, которая сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Пусть функция Ляпунова является знакоопределенной положительной вида V = QiX-\-q2X2 + ..• +ЯпХп Будем задавать

величине V возрастающие значения V = О, Ci, С2.....С„, в результате чего получим систему уравнений:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [40] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0056